Plano de Argand-Gauss

As raízes da equação x³ - 1 = 0, quando marcadas no plano complexo (plano de Argand-Gauss), representam os vértices de um triângulo. Pode-se afirmar que a área desse triângulo vale, 

Gabarito: 3 √¯3 / 4

x³ - 1 = 0 ---> A pesquisa de raízes racionais facilmente demonstra que uma raiz é x = 1

Aplique Biott-Ruffini e calcule as outras duas raízes (complexas0

Desenhe os três afixos das raízes no Plano de Argand-Gauss

Facilmente você descobre o lado do triângulo equilátero (geometria básica do triângulo equilátero)

Calcule a área

vc pode aplicar a segunda equação de moivre para encontrar as raízes, mas como já sabemos uma, que é real: o próprio 1, encontrar as outras é fácil:

x = 1cis(120º)  --> -1/2 + i√3/2
x'= 1cos(240º) --> -1/2 - √3/2

vc poderia também encontrar as raízes do polinômio por briot-rufinni,fatoração, tem vários meios..

por briot:

_3º_| 1___0____0|_-1_
_1__|--___1____1|_1_
 2º  | 1     1      1 | 0

portanto a equação do segundo grau: x² + x +1 e por báskara encontraríamos as raízes já encontradas. 

por fatoração:

a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)
x³ - 1³ = (x-1)(x² + x + 1)  ----->  (x-1)(x² + x + 1) =0 --> de novo

só uma revisão...

agora vamos ao pedido do exercício, vc poderia colocar os pontos em um plano e tirar a área pelos seus conhecimentos de geometria plana, mas também pode fazer pelo determinante:

S = |D|/2

|  1      0        1  |
|-1/2   √3/2    1  |  = D = 3 (√3/2)
|-1/2  - √3/2   1  |
 
S = 3(√3/2)/2 --> S = 3(√3/4)

Muito obrigada Thálisson e Elcioschin! A ajuda de vocês foram de grande valia!