Área e Baricentro

Se M é um ponto qualquer do plano, entre r e s, sobre a área S do triângulo AMB, podemos afirmar que
a) 30<S<90
b) 45<S<90
c) 60<S<90
d) 30<S<60
e) 45<S<60
GAB.: A

[ABC] = 12*15/2 = 90
Quando traçamos uma reta paralela à base de um triângulo passando pelo 3º ponto, podemos deslocar este e a área do triângulo formado continua a mesma pois será a mesma base e a mesma altura.
Portanto a área máxima do triângulo AMB será 90.
Obs: Vou presumir que P esteja sobre a reta s, caso contrário não teria sentido de ele estar ali.
Tracemos a mediana relativa ao lado AB, na qual esta passa por P.
Pelo teorema de Tales(olhe a figura https://2img.net/h/oi58.tinypic.com/2ldcab4.jpg):
3x/12 = x/y
3x / x = 12 / y
3=12/y
y = 4
Sendo assim a área do triângulo AMB será minima quando estiver sobre a reta s que dista 4 u.c. da base AB:
Smin = 15*4/2 = 30
 ∴ 30 < S < 90
Letra A.

Carlos Arguilar, duas dúvidas...

(i) O enunciado diz "entre r e s", isso indica que o ponto M jamais estará sobre a reta r, ie, a área de AMB nunca chegará a 90. (?)

(ii) O ponto P é o baricentro, o que te fez considerar que P está sobre s? Digo isso porque, novamente, consideramos o enunciado. Em determinada circunstância (área mínima), o ponto P coincidirá com o ponto M, mas M terá que estar entre r e s, e não sobre s. (?)

diolinho escreveu:Carlos Arguilar, duas dúvidas...

(i) O enunciado diz "entre r e s", isso indica que o ponto M jamais estará sobre a reta r, ie, a área de AMB nunca chegará a 90. (?)

(ii) O ponto P é o baricentro, o que te fez considerar que P está sobre s? Digo isso porque, novamente, consideramos o enunciado. Em determinada circunstância (área mínima), o ponto P coincidirá com o ponto M, mas M terá que estar entre r e s, e não sobre s. (?)

Muito bem observado!
(i) Realmente o ponto M nunca estará sobre as retas r e s, por isso mesmo que nas alternativas está <, > e não ≤, ≥, se ele pudesse estar sobre as retas teria que ser ≤, ≥ (<90 quer dizer que ele poderá ser qualquer número menor que 90 mas 90, idem para o 30). Erro meu.

(ii) Primeiramente: Considerei que P estaria contido em s pois não faria sentido eles identificarem o baricentro se ele não estiver contido em s, pois não ajudaria na resolução e todos sabem que em qualquer triângulo existe um baricentro (seria equivalente a dizer: Um triângulo, que tem 3 lados...).
Por isso achei que seria um pequeno erro na figura.
Segundo: Na figura que eu editei coloquei um ponto chamado M pois não me lembrei que já existia um ponto com esse nome, esse M que eu fiz era para ser a interseção entre a mediana e o seu lado oposto, ou seja, seria o ponto médio.
Lembrando o ponto que pode estar entre r e s é o M e não o P.
Como perguntou em (i) ele realmente nunca estará sobre s, por isso > 30 e não ≥ 30.
Mais alguma dúvida?

Obrigado Carlos Arguilar, explicou muito bem!