calculo 2

por IOCLEYA MARTINS Sex 31 Out 2014, 11:37

suponha que o potencial numa lamina plana é dado por:

V(x,y)=20 - 2xe elevado a -x² + y²/2

a)determine a taxa de variação do potencial na direção do vetor (3,2) no ponto (1,0)
b)qual a direção de maior crescimento do potencial no ponto (1,0)

tem como vc explicar como fazer, pois se eu derivar em relação a x fica y²/2 -2xe elevado -x²+y²/2 ,e depois eu substitui o vetor ou o ponto ?

por Man Utd Sex 31 Out 2014, 22:17

a)

Pede-se a derivada direcional na direção do vetor (3,2) no ponto (1,0),logo sabemos que : $\\\\\\ \\\\\\ D_{\vec{u}}=\nabla \vec{f}(x_{0},y_{0}) \cdot \vec{u}$ então :

$\\\\\\ \frac{\partial V}{\partial x} =-2e^{\left( -x^2+\frac{y^2}{2} \right)}+4x^2e^{\left( -x^2+\frac{y^2}{2} \right)} \\\\\\ \frac{\partial V(1,0)}{\partial x} =-2e^{-1}+4e^{-1} =2e^{-1} \\\\\\ \frac{\partial V}{\partial y} =-2xye^{\left( -x^2+\frac{y^2}{2} \right)} \\\\\\ \frac{\partial V(1,0)}{\partial y} =0$

Então o gradiente no ponto (1,0) é :

$\\\\\\ \nabla V(1,0)=\frac{\partial V(1,0)}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial V(1,0)}{\partial y}\vec{j} \\\\\\ \nabla V(1,0)= \frac{2}{e} \;\vec{i}$ essa é a direção de maior crescimento logo é a resposta da alternativa "b" .

Prosseguindo:

$\\\\\\ D_{\vec{u}}=\nabla \vec{f}(1,0) \cdot \vec{u} \\\\\\ D_{\vec{u}}=\left( \frac{2}{e} \; , \; 0 \right ) \cdot \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \; , \; \frac{2} \sqrt{13}{} \right ) \\\\\\ D_{\vec{u}}= \frac{6}{e \sqrt{13}} \\\\\\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ D_{\vec{u}}= \frac{6\sqrt{13}}{13e} }}}$

calculo 2

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