Coordenadas do Ponto

Sejam F₁ e F₂ os pontos do plano cartesiano de coordenadas F₁ = (-√3,0) e F₂ = (√3,0). Determine as coordenadas dos pontos da reta r de equação x - y = 1 cujas somas das distâncias a  F₁ e F₂ sejam igual a 4 (isto é, determine as coordenadas dos pontos P sobre a reta r que satisfazem PF₁ + PF₂ = 4).


Resp.: (0,-1) e (8/5 , 3/5)


Obrigada!

Olá.

x-y =1 .:. x = 1+y

os pontos são da forma P(1+y,y). Temos:

√[(1+y+√3)² + (y-0)²] + √[(1+y-√3)² + (y-0)²] = 4 .:. 

. [y + (1+√3)]² + (y-0)² = y² + 2*y*(1+√3) + (1+√3)² + y² = 2y² + 2y + 2√3y + 4 + 2√3 = 2*(y²+y+√3y + 2 + √3)

.[ y + (1-√3)]² + (y-0)² = y² + 2*y*(1-√3) + (1-√3)² + y² = 2y² + 2y - 2√3y + 4 - 2√3 = 2*(y²+y-√3y+2-√3)

Colocando o 2 em evidência, temos:

√(y²+y+√3y+2+√3) + √(y²+y-√3y+2-√3) = 2√2 .:. 
√(y²+y+√3y+2+√3) = 2√2 - √(y²+y-√3y+2-√3) .:. 
y²+y+√3y+2+√3 = 8 - 4√2*√(y²+y-√3y+2-√3) + y²+y-√3y+2-√3 .:. 
2√3y+2√3 = 8 - 4√2*√(y²+y-√3y+2-√3) .:. 
√3y + (√3-4) = -2√2*√(y²+y-√3y+2-√3) .:. 
3y² + 2√3y*(√3-4) + 19 - 8√3 = 8*(y²+y-√3y+2-√3) .:. 
3y² + 6y - 8√3y + 19 - 8√3 = 8y² + 8y - 8√3y + 16 - 8√3 .:. 
-5y² - 2y + 3 = 0 .:. 5y²+2y-3 = 0 --> y = (-2+-8)/10 .:. y = 3/5 ou y = -1

e com isso , x = 8/5 ou x = 0

Bem algébrico.

Deve ter um jeito mais rápido.

Att.,
Pedro

Muito obrigada