inscrição e circunscrição de sólidos3

O segmento AB de medida 8cm é uma das diagonais de um octaedro regular.Calcule a área total do hexaedro convexo, cujos vértices são os pontos médios das arestas do octaedro dado.

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Olá, boris benjamim de paula.

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Vamos analisar apenas a metade do octaedro, e a metade do hexaedro, pois ambos são simétricos.

A face do octaedro é um triãngulo equilátero, e o ponto Q é o baricentro, sende que este divide a sua altura na razão 2:1.
Note que os dois triângulo da face são semelhante, então a razão entre suas bases deve ser igual a razão entre suas alturas.Dessa forma podemos escrever:

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Como os dois catetos de hipotenusa PQ são iguais, podemos escrever:

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A diagonal do tetraedro é a diagonal de um quadrado de aresta igual a (a).

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A altura do tetraedro regular é igual a [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Como a razão entre as faces é igual a 1/3, a razão entre as suas alturas deve ser a mesma.

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Sendo o hexaedro também simétrico a sua altura será igual a [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Logo, a sua área é dada por:

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obrigado adriano tavares,ótima explicação." essa questão é muito inteligente"