Pontos no plano

Considere as retas m e n da figura a seguir. Assinale a alternativa que completa corretamente a sentença a seguir: "o conjunto dos planos que estão mais próximos da reta m do que da reta n constitui:






a) um semiplano
b) uma reta
c) duas retas ortogonais
d) duas regiões opostas pelo vértice de um ângulo reto
e) o interior de um ângulo agudo

Considerando que as retas m e n são concorrentes, obviamente elas definem um plano, o do desenho.

"o conjunto dos planos" --> cada um dos infinitos planos deste conjunto é perpendicular ao plano do desenho.

m e n definem dois ângulos internos cujas respectivas bissetrizes dividem ao meio e, portanto essas bissetrizes estão equidistantes de m e n.

o ângulo formado pelas bissetrizes é reto (90º) porque elas dividem ângulos suplementares.

Logo, o conjunto dos planos mais próximo de m do que de n é toda a região entre as bissetrizes que contém a reta m, com exceção delas próprias.

Portanto, esta região é "o interior de um ângulo agudo" ----- alt.(e)

Eu achei o gabarito dessa questão e ela diz que a alternativa certa é a (d)

mas pelo que você explicou a alternativa (e) se encaixa melhor.

as bordas do ângulo reto são as bissetrizes comentadas; e elas são equidistantes à m e à n -- hipótese excluída pelo enunciado.

entretanto, o ângulo reto menos um infinitésimo de grau já atende. Mas... quanto é um infinitésimo? Isso é desprezível e visualmente invisível.

Porém um infinitésimo de diferença, por mais desprezível que seja, não é diferença zero.

Matenho minha resposta e a discuto com quem vier.

Também ficaria com a alternativa (e), pq na verdade as regiões delimitadas pelas bissetrizes que contém a reta m não são opostos pelo vértice, eu vejo como ângulos complementares.

Negativo. São, sim, opostos pelo vértice. A situação é a da figura:



α/2 + β/2 = 90º

a região pedida é aquela em amarelo exceto, insisto, a linha pontilhada vermelha.

Então as alternativas (e) e (d) estão corretas?

Na verdade, acho que a questão está mal formulada. Do modo como o foi, fico com a alternativa e.

De outro modo, pergunto: como se pode dizer que uma bissetriz está mais próxima de uma das bordas do ângulo que divide? Isso vai contra a definição de bissetriz.
Porém, a definição de "linha", dada por Euclides, "é aquilo que só tem comprimento"; logo, não tem largura. Num ângulo, usamos as linhas para nos facilitar visualisar e definir suas bordas; o ângulo é apenas a região; não tem as linhas que desenhamos nas suas bordas. E as bordas (limites do ângulo amarelo) estão equidistantes de m e n. E o ângulo amarelo é de 90º.