Número complexos

por marcioamorim Sex 17 Out 2014, 22:53

Considere a polígono regular cujos vértices são dados
pelas raízes da equação complexa (z^(3)) -i = 0. A área desse
polígono é?

por PedroCunha Sáb 18 Out 2014, 04:58

Olá.

\\ z^3 - i = 0 .:. z^3 = i .:. z^3 = \operatorname{cis} \frac{\pi}{2}

Pela Segunda Lei de DeMoivre:

\\ z = \operatorname{cis} \left( \frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{3} \right) \therefore z = \operatorname{cis} \left( \frac{\pi \cdot (1+4k)}{6} \right), k = 0,1,2 \\\\ \begin{cases} z_1 = \operatorname{cis} \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt3}{2} + \frac{i}{2} \\\\ z_2 = \operatorname{cis} \left( \frac{5\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt3}{2} + \frac{i}{2} \\\\ z_3 = \operatorname{cis} \left( \frac{3\pi}{2} \right) = -i \end{cases}

Temos um triângulo equilátero de lado:

\\ l^2 = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \therefore l^2 =3u.c.

Assim, sua área é:

\\ S = \frac{l^2\sqrt3}{4} = \frac{3\sqrt3}{4}u.a.

Att.,
Pedro