Energia Interna de um gás

por PedroCunha Seg 06 Out 2014, 22:08

Olá, amigos.

Estava fazendo um exercício e me deparei com a seguinte afirmação:

Verifica-se matematicamente que o ponto de AB em que o produto p x V (gráfico pressão x volume de um gás ideal) é máximo é o ponto M, médio de AB.

Alguém poderia me mostrar a prova?

Abraços,
Pedro

por **Euclides** Seg 06 Out 2014, 22:51

Sua dúvida está mal apresentada, Pedro. O produto PV para uma transformação qualquer é uma reta:

PV=nRT ----> y=kx

para uma transformação isotérmica é uma hipérbole equilátera. Qual é a curva e quem são A e B?

por PedroCunha Seg 06 Out 2014, 22:59

Perdão, Euclides.

Energia Interna de um gás 2s0dd3n

É um gráfico desse tipo. O assunto que estava sendo tratado era a energia interna de um gás ideal e perguntava-se quando ela era máxima. A resolução utilizava o fato de que E = (3/2)*nRT = (3/2)P*V e após isso afirmava que

Verifica-se matematicamente que o ponto de AB em que o produto p x V (gráfico pressão x volume de um gás ideal) é máximo é o ponto M, médio de AB.

É isso.

Abraços,
Pedro

por **Euclides** Seg 06 Out 2014, 23:42

Agora está OK. Para simplificar a solução, sem qualquer perda de generalidade, podemos trasladar o gráfico até a origem, como abaixo:

Energia Interna de um gás Image

O produto PV pode ser representado pela área de um retângulo inscrito na figura como exemplificado acima. A reta terá uma equação como

P=-\frac{P_0V}{V_n}+P_0

calculando a área máxima do quadrilátero temos:

$\\A=x.y\;\;\to\;\;A=V(-\frac{P_0V}{V_n}+P_0)\;\;\to\;\;A=-\frac{P_0V^2}{V_n}+P_0V\\\\V_{vert}=-\frac{P_0}{-2\frac{P_0}{V_n}}\;\;\;\to\;\;\;V_{vert}=\frac{V_n}{2}\;\;\to\;\;P_{vert}=\frac{P_0}{2}$