Arcos

Na figura abaixo, o circulo é tangente nos pontos P e H para os lados do angulo reto XOY. Ache o angulo JÔH se o arco EH é o dobro do comprimento do arco HJ.


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Eu acabei ligando o ponto H e P até o centro da circunferencia, formando um quadrado e prolongando P até encontrar na circunferencia num ponto F. Dessa forma o arco HF seria de 90° e ele é igual ao arco HE = 2x , sendo x o comprimento do arco HJ mais uma medida y. Se o centro da circunferencia é L e o ponto de encontro HL com OE é B, eu considerei que BLF é semelhante a BHO e então EF seria x. Tendo 2x+x=90 e x = 30. Como HOJ é formado pelo encontro de uma reta tangente a circunferencia e outra secante a ela, ele é um angulo inscrito e mede 15°, como é a resposta do gabarito. Mas eu adotei serem triangulos semelhantes porque parecia eu nao sei provar nem se o que eu fiz está errado, alguem pode ver isso?