Trabalho - Corrente pendurada

Uma corrente de massa m e comprimento L está sobre uma mesa, ficando um quinto do seu comprimento pendurado pela borda. Calcule o trabalho necessário para puxar para cima da mesa a parte pendente:

a) Quando a mesa é lisa e a corrente está inicialmente em repouso devido a uma força;

b) Quando a corrente está inicialmente em repouso devido ao atrito com a mesa e na iminência do movimento.



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Dúvida 1:

Na letra a) a resposta não seria o dobro (mgL/25) ?

Pensei assim: Como a mesa é lisa não é necessário levar atrito nenhum em consideração. A parte pendurada da corda tem uma energia potêncial gravitacional de (m/5).g.(L/5) = mgL/25.
Na situação final ela tem energia 0, logo o trabalho necessário é de mgL/25. Está errado ?

Dúvida 2:

Na letra b) é possível fazer sem usar cálculo diferencial integral ? Uma vez que vai variar o atrito.

Perceba que o trabalho necessário para levantar equivale à energia potencial ganha pelo conjunto que estava pendurado.
Assim, vamos "dividir" a corrente solta em pedaços, assim, obteremos algo parecido com:

(esqueça a parte de cima, a corrente "some" do nada)
Assim, teremos que a parte pendurada foi dividida em 5 partes, ou em 5 h's
E cada bolinha representa um grupo de massa(cada uma com valor de massa n), assim:
h=L/25
n=m/25
A energia pra subir a ultima bolinha é equivalente a 5h.n.g = L/5 . m/25 . g = 5Lmg/625
A energia para subir a penultima bolinha é equivalente a 4 h . n . g = 4L/25 . m/25 . g = 4Lmg/625
A energia necessária para subir a antepenultima é equivalente a 3h.n.g = 3Lmg/625
E assim sucessivamente, ao todo das 5 bolinhas é necessário:
(5+4+3+2+1)Lmg/625 = 3Lmg/125.
E se dividirmos em infinitos pedaços de massas iguais e distantes entre si de comprimentos iguais?
Ai teremos: L/5k = h; n = m/5k; onde k é um numero gigante.
Energia necessária para levantar o ultimo: khng = k(L/5k)(m/5k)g = kLmg/25k²
...
Energia para levar o primeiro: 1hng = 1Lmg/25k²
Energia para levantar todos: 

Perceba que você considerou toda a corrente como estando no ultimo pedaço, mas a corrente está igualmente distribuida.
Eu usei geogebra e fiz a seguinte relação: t=(k-1)/(50k). Quanto mais k aproxima-se do infinito, mais t se aproxima de 0,02, mas ainda t<0,02. Assim, substituindo por t na equação, achamos que a energia total necessária para levantar a corrente equivale a Lmg/50
Nessa questão acho que tu precisarás usar conceitos de limites, derivadas e integrais, eu não completo a resposta pois ainda não sei a matéria de cálculo diferencial.

A... valeu...

Entendi o seu raciocínio, muito bom por sinal. No caso do exercício a resposta vem quando k tende ao infinito então:

Energia =


Parece que não vai ter jeito mesmo, vai ser necessário cálculo para resolver a alternativa b)

E a propósito, você vai tirar de letra quando você tiver cálculo com esse raciocínio ^^

outra maneira de pensar seria usando o conceito de centro de massa,afinal se considerarmos apenas a parte da corda pendurada(o l/5) seu centro de massa estará no meio desse pedaço(l/10) e deslocaremos o centro de massa l/10 para cima sendo que o peso do pedaço é de mg/5 logo o trabalho será mgl/50

Olha, eu consegui a letra b sem usar cálculo, não tenho certeza se está 100% correto, mas eu pensei assim... no caso de haver força de atrito o trabalho da força para puxar a parte pendurada para cima somado com o trabalho da força de atrito vai resultar no ganho de energia potencial gravitacional, ou seja, ▲Epotencial = Wf + Wfat. 
A questão principal é como calcular o trabalho do atrito, e para isso voltemos ao enunciado, que afirma que a corrente está em repouso e na iminência do movimento, o que nos diz que a tração da corrente na parte pendurada é igual ao peso dessa parte: T = mg/5 (uma vez que a corrente é homogênea). Além disso, para a parte que está sobre a mesa a tração se iguala com a fat (inicial) T= fat= mg/5 (I)
Lembrando que essa força de atrito irá variar junto com a variação de massa sobre a mesa, e para calcular como acontece essa variação precisamos saber qual o coeficiente de atrito (µ), como fat = N.µ então fat= 4mg/5 .µ (II). Igualando I e II temos 4mgµ/5 = mg/5.
Resolvendo essa igualdade obtém se que µ = 0.25. A partir disso a forma mais simples de se resolver é pensando através de um gráfico Fat (N) x d (m), pois a área irá nos dar o próprio trabalho realizado pelo atrito. Eu não sei como montar um e colocá-lo aqui, por isso vou indicar apenas meus cálculos, mas caso não entenda, tente desenhar o referido gráfico. 
Bom, o fat inicial é de mg/5 quando d=0m (ou seja quando está pendurado o um quinto da corrente); o fat final é de mg/4 (N=mg e µ= 1/4) quando d= L/5 m - corrente está toda sobre a mesa. isso resultara em uma reta que intersecta o eixo y em mg/5. isso faz com que a área abaixo do gráfico seja um trapézio (A= (base maior + base menor) . altura / 2 ), e portanto, a área é (mg/4 + mg/5) . L/5 . 1/2. Calculando essa igualdade obteremos que A = Wfat = -9mgL/ 200 J (lembre-se que o fat atua na direção contrária ao movimento, e realiza assim, trabalho negativo).
E então fica fácil... Ep = mg/5 . L/10 (neste caso o L está sobre 10 e não 5 devido ao centro de massa da corrente estar na sua metade ou seja CM = L/5 .1/2) = Wf - 9mgL/200. Finalmente, podemos concluir que Wf = 13mgL/200 J.