Conservação de Energia mecânica do Pendulo

O pêndulo esquematizado na figura é constiuido de uma pequena esfera de massa m e de um fio leve e inextensível que pode suportar uma tração próxima máxima de intensidade mg, em que g é o módulo da aceleração da gravidade local.
Nas posições A e C, o fio apresenta-se, respectivamente na horizontal e na vertical 


 Admita que o pêndulo parta do repouso da posição A. Desprezando o efeito do ar, você pode afirmar que:
a) O fio se romperá entre as posições A e B
b) O fio se romperá na posição B
c) O fio se romperá entre as posições B e C
d) O fio se romperá na posição C
e) O fio permanecerá oscilando indefinidamente
Resposta a.

Eu achei esta resolução, mas não entendi porque multiplica-se a força peso pelo seno, para mim deveria dividi-la pelo seno, pois caso contrário seria mg.mg/T.  Agradeço desde já a quem esclarecer minha dúvida 




Resumo da solução:
- Conservação de energia;
- 2º Lei de Newton.

Supondo que a esfera percorra uma distância  até se romper. Assim temos,




Da 2º Lei de Newton
, onde  é o ângulo formado no momento de romper com a horizontal.

No limite 




Da figura temos,



Como  o fio irá se romper entre  e . Letra A

Jadif, sua única dúvida é em relação à decomposição da força peso? Pelo que entendi, sim, então por enquanto responderei só isso, mas se tiver mais alguma coisa, diga.

Primeiramente, lembre-se que o 0 ≤ |senx| ≤ 1, então note que se você dividir algo pelo seno de algo, você obterá algo maior do que o que foi dividido. Ex: 50/0,5 = 100. Então se você dividisse o peso pelo seno, obteria uma componente do peso que é maior que o próprio peso, o que não faz sentido.

Vamos à decomposição, com um ângulo genérico a:

Px e Py são as componentes e a repetição delas em azul ali é só pra facilitar a visualização das relações trigonométricas, afinal Px = Px, é só arrastar o vetor do vermelho pro azul na imaginação que verá isso.


sena = Px/P ---> Px = Psena
cosa = Py/P ---> Py = Pcosa


O que não fez sentido pra mim nessa solução foi a parte:
T - mgsena = Força centrípeta


Deveria ser:
T - mgcosa = Força centrípeta

resolução alternativa:

vamos ver o que acontece com o pêndulo do ponto B:





no ponto B a tração já ultrapassou a que ela aguentaria no máximo: mg

então concluímos que o fio se rompe entre os pontos A e B.

Thálisson, como você tem certeza de que a resultante e o peso são perpendiculares?

Veja, que a componente que tem a mesma direção da tração equivale a cos(angulo vermelho).
Mas como os angulos vermelhos e verdes são complementares, significa dizer que a componente de gravidade na direção da tração tem módulo:
mg.sen(θ).
Na parte em que subtrai, significa dizer que o módulo da tração é igual à força da gravidade mais a aceleração centripeta.
Caso não existisse o campo gravitacional, a força de tração seria apenas a força centrípeta
Caso o movimento não fosse circular, então a força de tração seria apenas a força realizada pelo campo gravitacional.
Como no caso há as duas, então:
T=mg . sen(θ) + mv²/r

há um erro no meu desenho, eu deveria ter tirado as linhas pontilhadas, na verdade, a resultante é tangente a trajetória, sendo perpendicular a tração,   (mesmo sentido do raio)

Questão que envolve esse mesmo conceito é essa:
Questão ITA-99

Na verdade, você até que desenhou mais ou menos corretamente a resultante real... teria que saber o tamanho dos vetores e fazer o paralelogramo para saber a resultante exata, mas sabemos que é a soma do vetor tração com o peso. A resultante não é tangente à trajetória; ela é apenas uma componente da resultante. Então há 2 formas de obter a resultante:
i) Vetor Tração + Vetor Peso;
ii) Vetor resultante centrípeta + Vetor resultante tangencial
Não é isso?

dei uma editada no desenho ali, o resultado é o mesmo..
 
eu não me preocupei com a decomposição da tração, mas se fosse feito, haveria uma resultante centrípeta, e a resultante tangencial, que eu representei ali, antes era a resultante total, mas fiquei na dúvida também em relação a perpendicularidade.

e sim, a resultante total (união desses dois eixos), a soma vetorial dessas duas.

Thálisson C escreveu:resolução alternativa:

vamos ver o que acontece com o pêndulo do ponto B:





no ponto B a tração já ultrapassou a que ela aguentaria no máximo: mg

então concluímos que o fio se rompe entre os pontos A e B.

Thálisson, desculpe a "chatice" mas é que pelo que eu estou pensando, um de nós está errado e quero entender, então vamos aprender! 
Primeiramente, você escreveu: T = √2mg/2 =~ 0,7mg < mg, então no ponto B ainda não ultrapassou a tração máxima, que seria mg.
E outra: não vejo porque o triângulo formado por T, P e Fr é retângulo naquele ponto; apenas vejo que o ângulo entre P e T é 45°; e se o triângulo não é retângulo, não dá pra escrever cosa = T/P... lembremos que Fr não é perpendicular à tração; o que é perpendicular ali é a componente mgsena do peso.