Juros

Uma aplicação de R$10 000 00 é feita a juros compostos de 21% ao ano  ao mesmo tempo em que outra aplicação,no mesmo valor,é feita a juros compostos de 10% ao ano. Considerando-se log de 11 na base 10 seja aproximadamente igual a  1,04 , se preciso, e supondo que não haja mais aplicações nem retiradas,calcula-se que o número de anos para que o juro total da primeira aplicação seja 11 vezes maior do que a segunda é, aproximadamente igual a : 
a)10
b)15
c)20
d)25
e)30
Resposta: D

PalomaMenezes escreveu:Uma aplicação de R$10 000 00 é feita a juros compostos de 21% ao ano  ao mesmo tempo em que outra aplicação,no mesmo valor,é feita a juros compostos de 10% ao ano. Considerando-se log de 11 na base 10 seja aproximadamente igual a  1,04 , se preciso, e supondo que não haja mais aplicações nem retiradas,calcula-se que o número de anos para que o juro total da primeira aplicação seja 11 vezes maior do que a segunda é, aproximadamente igual a : 
a)10
b)15
c)20
d)25
e)30
Resposta: D

Olá.

Juro da 1ª aplicação:
C = 10000
i = 21% a.a.
n = ?
j1 = ?

J1 = C*[(1+i)^n-1]---->J1 = 10000*[(1+21%)^n - 1]---->J1 = 10000*[1,21^n - 1]

Juro da 2ª aplicação:
C = 10000
i = 10% a.a.
n = ?
J2 = ?

J2 = C*[(1+i)^n-1]---->J2 = 10000*[(1+10%)^n-1]---->J2 = 10000*[1,1^n-1]

Como J1 = 11J2, vem que:

10000*[1,21^n - 1] = 11*10000*[1,1^n-1
---->
10000*[1,21^n - 1] = 110000*[1,1^n-1

Dividindo os dois lados por 10000, vem:

[1,21^n - 1] = 11*[1,1^n-1]
---->
1,21^n - 1 = 11*1,1^n - 11
---->
1,21^n = 11*1,1^n - 10
---->
1,21^n - 11*1,1^n + 10 = 0
---->
1,1^2n - 11*1,1^n + 10 = 0

Fazendo x = 1,1^n e substituindo na equação acima, temos que: 

x^2 - 11x + 10 = 0

D = (-11)^2 - 4*1*10 = 81---->sqr (10) = 9
---->
x' = (11 + 9)/2 = 10
ou
x'' = (11  -  9)/2 = 1

Supondo x = 1---->1,1^n = 1---->1,1^n = (1,1)^0---->n = 0 (não serve)

Logo, x = 10 e, portanto:

10 = 1,1^n
---->
log 10 = n log 1,1
---->
1 = n log (11/10)
---->
1 = n [log 11 - log 10]
---->
1 = n [1,04 - 1]
---->
1 = 1,04n - n
---->
1 = 0,04n
---->
n = 1/0,04 = 25 anos

Um abraço.

PalomaMenezes escreveu:Uma aplicação de R$10 000 00 é feita a juros compostos de 21% ao ano  ao mesmo tempo em que outra aplicação,no mesmo valor,é feita a juros compostos de 10% ao ano. Considerando-se log de 11 na base 10 seja aproximadamente igual a  1,04 , se preciso, e supondo que não haja mais aplicações nem retiradas,calcula-se que o número de anos para que o juro total da primeira aplicação seja 11 vezes maior do que a segunda é, aproximadamente igual a : 
a)10
b)15
c)20
d)25
e)30
Resposta: D

Boa noite,

M = C(1+i)^n

J = M - C
J = C.(1+i)^n - C
J = C.[(1+i)^n - 1]

J1 = 11.J2

J1 =10000.[(1+0,21)^n - 1] = 10000.(1,21^n - 1)
J2 = 11.[10000.(1+0,1)^n - 1] = 11.(10000.(1,1^n - 1) = 110000.(1,1^n - 1)

1,21^n = (1,1)²^n = 1,1^2n

J1 = 11.J2
10000.(1,1^2n - 1) = 11.[10000.(1,1^n - 1)] = 110000.(1,1^n - 1)

Façamos:
1,1^2n = x²
1,1^n = x

10000.(x² - 1) = 110000.(x - 1)
10000.x² - 10000 = 110000.x - 110000
10000.x² - 110000.x - 10000 + 110000 = 0
10000.x² - 110000.x + 100000 = 0

Dividindo todo o 1º membro por 10000, fica:
x² - 11.x  + 10 = 0

Resolvendo por Bhaskara, obtém-se:
x' = 10
x" = 1

Retornando da incógnita provisória x para 1,1^n, vem:
1,1^n' = x'² = 10
1,1^n" = x"² = 1

Aplicando-se logaritmos a cada una das equações acima:
log(1,1^n') = log(10)
n'.log(1,1) = 1
n'.log(11/10) = 1
n'.[log(11) - log(10)] = 1
n'.(1,04 - 1) = 1
n'.(0,04) = 1
n' = 1/0,04 = 100/4
n' = 25

log(1,1^n") = log(1)
n".log(11/10) = 0
n".(0,04) = 0
n" = 0 (despreza-se)

Alternativa (D)



Um abraço.

Obrigada aos dois! (: