(Putnam/1989) Números complexos IV

Prove que se , então |z|=1.

11z^10 + 10iz^9 + 10iz - 11 = 0
11z^10 - 11 + 10iz^9 + 10iz = 0
11(z^10 - 1) + 10iz(z^8+1) = 0 (I)
Seja z* o conjugado de z.
(11(z^10 - 1) + 10iz(z^8+1) )* = 0*
11(z*^10-1) -10iz*(z*^8 +1) = 0 (II)

(I) + (II):
11(z^10 -1 + z*^10 - 1) = 0
z^10 + z*^10 = 2 (III)
Lembrando que z.z* = |z|²
z^10 + [ (|z|²^10) /(z^10) ] = 2 (IV)

M.A ≥ M.G :
(z^10 + [(|z|²^10) /(z^10) ] )/2 ≥ √|z|²^10
(z^10 + [(|z|²^10) /(z^10) ] ) ≥ 2|z|^10 , da eq. (IV) :
2 ≥ 2|z|^10
|z|^10 ≤ 1

voltando a eq. (III):
z^10 + z*^10 = 2 , sendo z = |z|cis(θ)
(|z|^10)cis(10θ) + (|z|^10) cis(-10θ) = 2
(|z|^10)( cis(10θ) + cis(-10θ) = 2
(|z|^10) (2cos(10θ)) = 2
(|z|^10)cos(10θ) = 1
como -1 ≤ cos(10θ) ≤ 1 e |z|^10 ≤ 1, então |z|^10 = 1 e cos(10θ) = 1
Logo,  |z| = 1 c.q.d

boa questão .

Só tenho uma coisa a dizer: UAU! Nossa, essa questão é mais difícil que eu imaginava. Parabéns, Luck. Você sempre me surpreendendo com suas resoluções íncriveis e bem explicadas! Obrigado de verdade! Abraços =)