Números complexos

Dado o complexo z = √3 + 3i, obtenha o menor natural n, não-nulo, de modo que zⁿ seja real.


Como resolver sem ser por tentativa?

Coloque o número na forma trigonométrica. Calcule, então, o argumento principal O e o módulo p:

p = \/(x²+y²)=\/(3 + 9) = \/12 = 2\/3

cos O = x/p = \/3 / 2\/3 = 1/2
sen O = y/p = 3 / 2\/3 = 3\/3 / 6 = \/3/2

O ângulo que possui cosseno 1/2 e seno \/3/2 é o de 60°, isto é, pi/3 radianos. Da fórmula de Moivre:

z^n = p^n (cos nO + i . sen nO) = 12 (cos n.pi/3) + i . sen n.pi/3)

Se um número é real, sua parte imaginária deve ser nula. Assim,

sen n.pi/3 = 0

Para que o seno de um ângulo seja nulo, esse ângulo deve ser da forma k.pi, com k inteiro.

n.pi/3 = k.pi -> n/3 = k

Agora, qual o menor valor de n possível, natural, se k deve ser inteiro?
Se n = 0, k = 0, que é inteiro.

Portanto, o menor natural possível para n é o zero.

Gabriel Rodrigues escreveu:Agora, qual o menor valor de n possível, natural, se k deve ser inteiro?
Se n = 0, k = 0, que é inteiro.

Portanto, o menor natural possível para n é o zero.

Como o enunciado pede o menor natural n, NÃO NULO, então n não pode ser igual a zero.

Logo a resposta correta seria n = 3, já que 3/3 = 1.

Obrigada Gabriel Rodrigues pela resolução e mauk03 pelo toque (a resposta é n = 3 mesmo). (:

mauk03 escreveu:

Gabriel Rodrigues escreveu:Agora, qual o menor valor de n possível, natural, se k deve ser inteiro?
Se n = 0, k = 0, que é inteiro.

Portanto, o menor natural possível para n é o zero.

Como o enunciado pede o menor natural n, NÃO NULO, então n não pode ser igual a zero.

Logo a resposta correta seria n = 3, já que 3/3 = 1.

Cara, que vacilo, não li o enunciado direito e não vi que tinha que ser não-nulo. Valeu a ajuda