(Espanha) Números Complexos II

por medock Seg 15 Set 2014, 12:49

Dado o sistemas de equações no conjunto dos números complexos:

$\left\{\begin{matrix} \ |z_1|=|z_2|=|z_3|=1\\ z_1+z_2+z_3=1\\ z_1z_2z_3=1 \end{matrix}\right.$

Então o valor de $z_1^4+z_2^4+z_3^4$ é igual a:

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Spoiler:

por Luck Qui 18 Set 2014, 01:51

z.z* = |z|² , sendo z* o conjugado de z.
z1 = 1/z1* ; z2 = 1/z2* ; z3 = 1/z3*

z1z2z3 = 1 ∴ z1*z2*z3* = 1

z1 + z2 + z3 = 1
(1/z1*) + (1/z2*) + (1/z3*) = 1
[(z2*z3*) + (z1*z3*) + (z1*z2*)]/(z1*z2*z3*) = 1
z2*z3* + z1*z3* + z1*z2* = 1
assim, z2z3 + z1z3+z1z2 = 1

Por polinômios simétricos:
sejam, a1 = S1 = z1+z2+z3= 1 ; a2 = z1z2 +z2z3 +z1z3 = 1 ; a3 = z1z2z3 = 1 ; S[2] = a1² - 2a2 = -1 ; S[4] = ?
S[n] = a1S[n-1] - a2S[n-2] + a3S[n-3]
S[3] = a1S[2] -a2S[1] + a3S[0]
S[3] = 1(-1) - 1.1 + 1.3 = 1
S[4] = a1S[3] -a2S[2] + a3S[1]
S[4] = 1.1 - 1.(-1) + 1.1
S[4] = 3