[OBMEP-2012] Trigonometria

por BieelsZaitsev Dom 07 Set 2014, 13:18

Na figura ao lado, as retas r e s são paralelas. O segmento AB é perpendicular a essas
retas e o ponto P, nesse segmento, é tal que AP = 2 e BP = 1. O ponto X pertence à reta
r e a medida do segmento BX é indicada por x. O ponto Y pertence à reta s e o triângulo
XPY é retângulo em P.
[OBMEP-2012] Trigonometria Perguntra

Determine o valor de x para o qual a área do triângulo XPY é mínima e calcule o valor dessa área.

[Não possuo resposta]

por Dela Corte Dom 07 Set 2014, 14:57

Bieels,

Para facilitar, vamos chamar o ângulo BPX de "alfa" e APY de "beta".

Veja que

$[OBMEP-2012] Trigonometria Gif$

Por consequência, temos

$[OBMEP-2012] Trigonometria Gif$

Pelo Teorema de Pitágoras,

$[OBMEP-2012] Trigonometria Gif$

A área do triângulo hachurado, em função de x, é

$[OBMEP-2012] Trigonometria Gif$

Aplicando a desigualdade das médias (média aritmética > média geométrica), temos

$[OBMEP-2012] Trigonometria Gif$

Temos que o menor valor possível para essa área é 2, e o valor de x que satisfaz esse valor é

$[OBMEP-2012] Trigonometria Gif$

por BieelsZaitsev Dom 07 Set 2014, 22:08

Muito genial! Obrigado pela resolução!

por BieelsZaitsev Seg 08 Set 2014, 21:01

Amigo, estou super confuso com a parte:

"Aplicando a desigualdade das médias (média aritmética > média geométrica), temos..."

Tem como vc explicar brevemente o porquê de ter feito isto, e para que esta propriedade?

Procurei no google e não entendi muito bem...

Agradeço desde já!

por Dela Corte Sex 12 Set 2014, 20:39

A área do triângulo hachurado, em função de x, é

$[OBMEP-2012] Trigonometria Gif$

Como o enunciado deseja que essa área seja mínima, devemos calcular, de alguma maneira, o menor valor para a expressão S.

Eu utilizei a desigualdade das médias porque é o método mais rápido que conheço (em três passagens achamos o valor desejado) e o mais simples para se calcular o mínimo dessa expressão.

Para uma resolução gráfica, que não necessariamente será 100% precisa e correta, você pode acessar este site aqui.

A propriedade que usei garante um resultado preciso de modo rápido.

Sugiro que você dê uma pesquisada na relação entre as médias (quadrática > aritmética > geométrica > harmônica). Elas serão úteis caso você se aventure por outras olimpíadas mais. E até para um vestibular esse conhecimento de ajuda.

Eu que agradeço pelo seu esforço em aprender. Mais alguma coisa?

PS: Use a desigualdade das médias para achar o menor valor de y da expressão abaixo, e determine o x que resulta em tal valor. Tarefa para o fim de semana!

$[OBMEP-2012] Trigonometria Gif$

por BieelsZaitsev Qua 17 Set 2014, 20:32

Desculpe-me pela demora, eu realmente estudei ~~esta loucura haha~~ e entendi. Estudei as primeiras páginas do artigo:
http://www.rumoaoita.com/site/attachments/293_Desigualdades%20-%20Iuri.pdf

Enfim, esta aí:
[OBMEP-2012] Trigonometria Resoluccedilatildeo-3

[OBMEP-2012] Trigonometria Resoluccedilatildeo-3

Minha letra é péssima, espero que entenda, aqui esta o URL se não conseguir ver:
https://2img.net/h/i1215.photobucket.com/albums/cc509/DreamsBieels/resoluccedilatildeo-3.png

Abraços e obrigado pelo desafio, espero estar certo.

por Dela Corte Qui 18 Set 2014, 19:29

Esse artigo é muito bom. Caso você deseje se aprofundar nos tópicos e se tornar um olímpico (OBM, OBMEP, etc) ou um vestibulando do ITA e IME, recomendo fazer os exercícios.

Sua letra é mais bonita que a minha. As respostas estão corretíssimas, e eu gostei de como você desenvolveu o passo-a-passo bem enumeradamente.

Carry on my wayward son!