Integral Indefinida---> Manipulação

por jojo Sáb 30 Ago 2014, 20:23

Pessoal,

Dado:

Integral de 1/[(a^2+(b^2)*(x^2)],

Deve-se resolvê-la por manipulação usando a integral do Arctg x depois.

Cheguei até e travei:

(1/b^2)* Integral de 1/[(x^2)+(a^2/b^2)]

por Man Utd Dom 31 Ago 2014, 12:56

Olá

$\\\\\\ \int \; \frac{1}{b^2x^2+a^2} \; dx \\\\\\ \int \; \frac{1}{a^2\left( \frac{b^2x^2}{a^2}+1\right)} \; dx \\\\\\ \frac{1}{a^2}\int \; \frac{1}{\frac{b^2x^2}{a^2}+1} \; dx \\\\\\ \frac{1}{a^2}\int \; \frac{1}{\left( \frac{bx}{a} \right)^2+1} \; dx$

Faça a substituição : $\\\\\\ u=\frac{bx}{a} \;\;\; \rightarrow \;\;\; du=\frac{b}{a} \; dx$ , logo :

$\\\\\\ \frac{1}{ab}\int \; \frac{1}{u^2+1} \; du \\\\\\ \frac{1}{ab}\left( \text{arc tg u} \right )+C \\\\\\ \frac{1}{ab}\left( \text{arc tg }\left( \frac{b}{a} \right ) \right )+C$