Valor de n
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Valor de n
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é (n-2) 180º e que os seus ângulos estão em progressão aritmética, qual o valor de n se o terceiro ângulo mede 120º e o quinto mede 140º?
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 10
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 10
mateus90- Jedi
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Idade : 34
Localização : Salvador-BA
Re: Valor de n
Boa tarde, Mateus.mateus90 escreveu:A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é (n-2) 180º e que os seus ângulos estão em progressão aritmética, qual o valor de n se o terceiro ângulo mede 120º e o quinto mede 140º?
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 10
an = a1 + (n-1)r
a3 = a1 + 2r = 120
a5 = a1 + 4r = 140
a5 - a3 = 4r - 2r
140 - 120 = 2r
20 = 2r
r = 20/2
r = 10°
a1 + 2r = 120
a1 + 2*10 = 120
a1 + 20 = 120
a1 = 120 - 20
a1 = 100°
PA = 100, 110, 120, 130, 140, ...
an = a1 + (n-1)r
an = 100 + (n-1)10 = 100 + 10n - 10
an = 90 + 10n
S = (a1 + an)*n/2
(n-2)180 = (100 + 90 + 10n)*n/2
180n - 360 = (190 + 10n)*n/2 = (95 + 5n)*n
5n² + 95n - 180n + 360 = 0
5n² - 85n + 360 = 0
n² - 17n + 72 = 0
Resolvendo por Bhaskara, obtemos:
n' = 9
n" = 8
Duas soluções, portanto!
Conferindo:
n'=9
a1 = 100°
a9 = 100° + 8*10° = 180°
S = (100+180)*9/2 = 280*9/2=40*9= 1260°
S = (n-2)*180 = (9-2)*180 = 7*180 = 1260°
n"=8
a1 = 100°
a8 = 100° + 7*10° = 170°
S = (100+170)*8/2 =270*8/2=140*8= 1080°
S = (n-2)*180 = (8-2)*180 = 6*180 = 1080°
Um abraço.
ivomilton- Membro de Honra
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Localização : São Paulo - Capital
Re: Valor de n
Obrigado Ivomilton.
mateus90- Jedi
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Idade : 34
Localização : Salvador-BA
Re: Valor de n
Não há algo errado nessa questão? Como pode um polígono convexo em que os ângulos crescem em pa? Alguém poderia me mostrar um desenho por favor?
Matheus Fillipe- Mestre Jedi
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Idade : 27
Localização : Araxá
Re: Valor de n
Matheus Filipe o enunciado não fornece nenhuma imagem, mas eu conferi o texto e está igual ao do livro.
mateus90- Jedi
- Mensagens : 226
Data de inscrição : 21/04/2012
Idade : 34
Localização : Salvador-BA
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