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Mensagem por mateus90 Qua 20 Ago 2014, 09:26

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é (n-2) 180º e que os seus ângulos estão em progressão aritmética, qual o valor de n se o terceiro ângulo mede 120º e o quinto mede 140º? 

a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 10
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Mensagem por ivomilton Qua 20 Ago 2014, 15:58

mateus90 escreveu:A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é (n-2) 180º e que os seus ângulos estão em progressão aritmética, qual o valor de n se o terceiro ângulo mede 120º e o quinto mede 140º? 

a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 10
Boa tarde, Mateus.

an = a1 + (n-1)r
a3 = a1 + 2r = 120
a5 = a1 + 4r = 140

a5 - a3 = 4r - 2r
140 - 120 = 2r
20 = 2r
r = 20/2
r = 10°

a1 + 2r = 120
a1 + 2*10 = 120
a1 + 20 = 120
a1 = 120 - 20
a1 = 100°

PA = 100, 110, 120, 130, 140, ...

an = a1 + (n-1)r
an = 100 + (n-1)10 = 100 + 10n - 10
an = 90 + 10n

S = (a1 + an)*n/2
(n-2)180 = (100 + 90 + 10n)*n/2
180n - 360 = (190 + 10n)*n/2 = (95 + 5n)*n

5n² + 95n - 180n + 360 = 0
5n² - 85n + 360 = 0
n² - 17n + 72 = 0

Resolvendo por Bhaskara, obtemos:
n' = 9
n" = 8

Duas soluções, portanto!

Conferindo:
n'=9
a1 = 100°
a9 = 100° + 8*10° = 180°
S = (100+180)*9/2 = 280*9/2=40*9= 1260°
S = (n-2)*180 = (9-2)*180 = 7*180 = 1260°

n"=8
a1 = 100°
a8 = 100° + 7*10° = 170°
S = (100+170)*8/2 =270*8/2=140*8= 1080°
S = (n-2)*180 = (8-2)*180 = 6*180 = 1080°



Um abraço.
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Mensagem por mateus90 Qua 20 Ago 2014, 22:17

Obrigado Ivomilton.
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Mensagem por Matheus Fillipe Qua 20 Ago 2014, 23:12

Não há algo errado nessa questão? Como pode um polígono convexo em que os ângulos crescem em pa? Alguém poderia me mostrar um desenho por favor?
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Mensagem por mateus90 Qui 21 Ago 2014, 08:31

Matheus Filipe o enunciado não fornece nenhuma imagem, mas eu conferi o texto e está igual ao do livro.
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