equaçao da reta tangente

por PiterPaulo Sex 01 Ago 2014, 13:03

Considere a função representada parametricamente por:
x(t) = sen(3t); y(t) = cos(2t) 0 ≤ t ≤ 2π

E determine as equações das retas tangentes à curva que se cruzam quando x = 0.

por Man Utd Sex 01 Ago 2014, 21:56

Olá

de acordo com o exercício quando x=0 :

$\\\\ sen(3t)=0 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; 3t=k\pi \;\;\;\Rightarrow \;\;\; t=\frac{\pi}{3}k$

as soluções que atendem a 0 ≤ t ≤ 2π são :

$\\\\ \begin{cases} t=0 \\ t=\frac{\pi}{3} \\ t=\frac{2\pi}{3} \\ t=\pi \\ t=\frac{4\pi}{3} \\t=\frac{5\pi}{3} \\ t=2\pi \end{cases}$

como a equação da reta tangente tem a forma : $\\\\ r \;\; : \;\; X=\gamma(t_{0})+\alpha \gamma^{\prime}(t_{0})$ , as equações da reta serão :

$\\\\\\ r \;\; : \;\; X=\gamma(0)+\alpha \gamma^{\prime}(0) \\\\\\ s \;\; : \;\; X=\gamma\left(\frac{\pi}{3} \right)+\alpha \gamma^{\prime}\left(\frac{\pi}{3} \right) \\\\\\ t \;\; : \;\; X=\gamma\left(\frac{2\pi}{3} \right)+\alpha \gamma^{\prime}\left(\frac{2\pi}{3} \right) \\\\\\ u \;\; : \;\; X=\gamma\left(\pi \right)+\alpha \gamma^{\prime}\left(\pi \right) \\\\\\$

$\\\\\\ v \;\; : \;\; X=\gamma\left(\frac{4\pi}{3} \right)+\alpha \gamma^{\prime}\left(\frac{4\pi}{3} \right) \\\\\\ w \;\; : \;\; X=\gamma\left(\frac{5\pi}{3} \right)+\alpha \gamma^{\prime}\left(\frac{5\pi}{3} \right) \\\\\\ z \;\; : \;\; X=\gamma\left(2\pi \right)+\alpha \gamma^{\prime}\left(2\pi \right)$

Ainda não terminou, bastar somente calcular $\\\\\\ \gamma(t) \;\;\;\; \text{e} \;\;\;\; \gamma^{\prime}(t)$ em cada reta.

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