Soma de números

Por favor como que eu resolvo essa questão ?

linha1: 1+1³+1=3
linha2: 3+2³+1=12
linha3: 12+3³+1=40
linha4: 40+4³+1=105
linha5: 105+5³+1=231
linha6:231+6³+1=448

a) Qual é a soma da linha 30 ?

b) Qual é a fórmula para calcular a soma das n primeiras linhas?(por exemplo: a soma das seis primeiras linhas é : 3+12+40+105+231+448 = 839)

Obrigado

1 + 1³ + 1 = 3
3 + 2³ + 1 = 12
12 + 3³ + 1 = 40
40 + 4³ + 1 = 105
...
x[28] + 29³ + 1 = x[29]
x[29] + 30³ + 1 = x[30]
Somando tudo:
1 + (1³ + 2³ + 3³ + ... + 30³) + 30.1 = x[30]
∑k³ = [n(n+1)/2]² , k de 1 a n
Logo, x[30] = 1 + [30(31)/2]² + 30
x[30] = 216256

assim para calcular a soma das n primeiras linhas , temos:
1 + (1³)  + 1.1 = x[1]
1 + (1³ +2³) + 2.1 = x[2]
1 + (1³ + 2³ + 3³) + 3.1 = x[3]
...
1 + (1³ + 2³ + 3³ + ... + n³) + n.1 = x[n]
S[n] = n + ( n.1³ + (n-1)2³ + (n-3)3³ + ... + 2(n-1)³ + 1n³ ) + (1 + 2 + 3 + ... + n )
S[n] = n + ∑[(n+1-k)k³] + ∑k , k de 1 a n

sabendo que ∑k = n(n+1)/2, basta calcular o primeiro somatório, para isso obtenha antes o valor de ∑k^4 ,  deixo para vc terminar..

ps. tópico movido para nível médio - álgebra, favor verifique o local correto nas próximas postagens..

Obrigado Luck

chicosilva88 escreveu:Por favor como que eu resolvo essa questão ?

linha1: 1+1³+1=3
linha2: 3+2³+1=12
linha3: 12+3³+1=40
linha4: 40+4³+1=105
linha5: 105+5³+1=231
linha6:231+6³+1=448

a) Qual é a soma da linha 30 ?

b) Qual é a fórmula para calcular a soma das n primeiras linhas?(por exemplo: a soma das seis primeiras linhas é : 3+12+40+105+231+448 = 839)

Obrigado

Boa noite,

Fórmula da soma das n primeiras linhas, onde Tn significa "número triangular de ordem n":
S = (T1)² + (T2)² + (T3)² + ... + (Tn)² + Tn + n

Para n=6, temos:
S = 1² + 3² + 6² + 10² + 15² + 21² + 21 + 6
S = _1 + 9 + 36 + 100 + 225 + 441 + 21 + 6
S = 839

Para n=30, fica:
S= 1² + 3² + 6² + 10² + 15² + 21²+ 28² + 36² + 45² + 55² + 66² + 78² + 91² + 105² + 120² + 136² + 153² + 171² + 190² + 210² + 231² + 253² + 276² + 300² + 325² + 351² + 378² + 406² + 435² + 465² + 465 + 30


S= 1 + 9 + 36 + 100 + 225 + 441 + 784 + 1296 + 2025 + 3025 + 4356 + 6084 + 8281 + 11025 + 14400 + 18496 + 23409 + 29241 + 36100 + 44100 + 53361 + 64009 + 76176 + 90000 + 105625 + 123201 + 142884 + 164836 + 189225 + 216225 + 465 + 30

S= 1429471



Um abraço.

Obrigado Ivomilton

(A)

a1 = 1 + 1³ + 1
a2 = a1 + 2³ + 1
a3 = a2 + 3³ + 1
.
.
.
an = an-1 + n³ + 1

a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an = 1 + a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ + 1 + 1 + 1 + ... + 1

an = 1 + 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ + n
an = 1 + n + ∑k³ (k=1 a k=n)
an = 1 + n + [n(n + 1)]²/4

a30 = 1 + 30 + [30(30 + 1)]²/4
a30 = 31 + (30*31)²/4
a30 = 31 + 216225
a30 = 216256

Obrigado Professor Marcelo

chicosilva88 escreveu:Por favor como que eu resolvo essa questão ?

linha1: 1+1³+1=3
linha2: 3+2³+1=12
linha3: 12+3³+1=40
linha4: 40+4³+1=105
linha5: 105+5³+1=231
linha6:231+6³+1=448

a) Qual é a soma da linha 30 ?

b) Qual é a fórmula para calcular a soma das n primeiras linhas?(por exemplo: a soma das seis primeiras linhas é : 3+12+40+105+231+448 = 839)

Obrigado

Boa noite, chicosilva.

Tendo em vista a excelente fórmula postada pelo PedroX sobre a soma dos quadrados dos n primeiros números triangulares, a fórmula que você procura aqui é:

S = (3.n⁵ + 15.n⁴ + 25.n³ + 45.n² + 92.n)/60


S = (3.30⁵ + 15.30⁴ + 25.30³ + 45.30² + 92.30)/60

S = (3.24300000 + 15.810000 + 25.27000 + 45.900 + 92.30)/60

S = (72.900.000 + 12.150.000 + 675.000 + 40.500 + 2.760)/60


S = 85.768.260/60

S = 1.429.471


 
Um  abraço.

ivomilton escreveu:

chicosilva88 escreveu:Por favor como que eu resolvo essa questão ?

linha1: 1+1³+1=3
linha2: 3+2³+1=12
linha3: 12+3³+1=40
linha4: 40+4³+1=105
linha5: 105+5³+1=231
linha6:231+6³+1=448

a) Qual é a soma da linha 30 ?

b) Qual é a fórmula para calcular a soma das n primeiras linhas?(por exemplo: a soma das seis primeiras linhas é : 3+12+40+105+231+448 = 839)

Obrigado

Boa noite, chicosilva.

Tendo em vista a excelente fórmula postada pelo PedroX sobre a soma dos quadrados dos n primeiros números triangulares, a fórmula que você procura aqui é:

S = (3.n⁵ + 15.n⁴ + 25.n³ + 45.n² + 92.n)/60


S = (3.30⁵ + 15.30⁴ + 25.30³ + 45.30² + 92.30)/60

S = (3.24300000 + 15.810000 + 25.27000 + 45.900 + 92.30)/60

S = (72.900.000 + 12.150.000 + 675.000 + 40.500 + 2.760)/60


S = 85.768.260/60

S = 1.429.471


 
Um  abraço.

Olá Ivomilton, a letra a) pede a soma da linha 30 apenas, o que vc calculou através da fórmula (que é o item pedido na b ) foi a soma das 30 primeiras linhas.

Boa noite, Luck.

O amigo tem razão.
O pedido é apenas a soma da linha 30.
Fórmula para calcular a soma de uma linha é igual à soma dos n cubos + n + 1:


S(linha n) = (1+2+3+...+n)² + n + 1

Assim, a soma da linha 30 é:
S(30) = (1+2+3+...+30)² + 30 + 1

Soma entre parênteses = [(1+30)*30/2]² = (31*15)² = (465)² = 216225

S(30) = 216225 + 30 + 1

S(30) = 216256



Obrigado pelo aviso!