soma dos números

por MarcosNaval2015 Seg 23 Jun 2014, 11:09

524 Dois números são tais que a
soma de seus cubos é igual a 5 e a soma de seus

quadrados é igual a 3. A soma destes números pode ser igual a

Resposta: -1 + raiz de 5

por PedroCunha Seg 23 Jun 2014, 11:50

Olá.

a²+b² = 3 .:. (a+b)² - 2ab = 3 .:. [ (a+b)²- 3 ] /2 = ab
a³ + b³ = 5

Temos:

a³+b³ = 5 .:. (a+b)*(a²-ab+b²) = 5 .:.

a²-ab+b² = a²+b²- ab = 3 - [ (a+b)²- 3] /2 .:. (6 - (a+b)² + 3)/2 .:. (9 - (a+b)²)/2

(a+b) * (9 - (a+b)²)/2 = 5 .:. 9(a+b) - (a+b)³ = 10 .:. (a+b) = t:

-t³ + 9t - 10 = 0 --> 2 é raiz. Abaixando o grau:

2 | -1 0 9 -10
-1 -2 5 0 --> -t²-2t+5 --> t = (2 +- 2√6)/-2 .:. t = -1 -+ √6

Assim, temos três possibilidades: a+b = 2, a+b = -1+√6, a+b = -1-√6

Discordo do seu gabarito.

Por exemplo: a+b = 2, a = 1 + 1/√2 e b = 1 - 1/√2

Temos:

a² + b² = 1 + 2/√2 + 1/2 + 1 - 2/√2 + 1/2 .:. a²+b²= 3
a³ + b³= (10+7√2)/4 + (10-7√2)/4 = 5

Att.,
Pedro

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