soma e produto

Alguém elege dois números, não necessariamente distintos, no conjunto de números naturais {2,3,4,...,20}. O valor da soma dos dois números é dado a uma pessoa S, e somente a ela. O valor do produto desse números é dado a outra pessoa P e somente a ela. Pelo telefone S diz a P:
-Não é possível que descubras minha soma.
Uma hora mais tarde P diz a S:
-Sabendo disso já sei quanto vale a tua soma.
Então, S diz a P:
-Ora, se é assim eu também sei quanto vale o seu produto.

Quais foram os números eleitos?

S = 2 + 2 = 4 ---> P = 4 ----> um único caso

S = 2 + 3 = 5 ---> P = 6 ----> um único caso

S = 2 + 4 = 6 ---> P = 8
S = 3 + 3 = 6 ---> P = 9

S = 2 + 5 = 7 ---> P = 10
S = 3 + 4 = 7 ---> P = 12

S = 2 + 6 = 8 ---> P = 12
S = 3 + 5 = 8 ---> P = 15
S = 4 + 4 = 8 ---> P = 16

E assim por diante desde (2+7), (3+6), (4+5) até:


19 + 19 = 38 ---> P = 342
18 + 20 = 38 ---> P = 360

19 + 20 = 39 ---> P = 380 ---> um único caso

20 + 20 = 40 ---> P = 400 ---> um único caso

Note que se existir mais de um caso que dê a soma é impossível descobri-la, sem nenhum dado adicional

Mas existem 4 casos que são únicos

Tente agora continuar

Acho que consegui descobrir a soma, mas não sei se o raciocínio está correto. Supondo que a soma seja 8, temos como possíveis produtos 12, 15 e 16. Porém o 15 pode ser formado unicamente por 3 x 5, ou seja, se a pessoa P tivesse recebido o produto 15 saberia na hora que os números eleitos são 3 e 5 e que a soma é 8, consequentemente a pessoa S não teria dito que sua soma é impossível de ser descoberta. Isso invalida a soma 8 e todas as outras somas que tem como possibilidade de produto um número formado pela multiplicação de 2 primos ou um produto que pode ser obtido de uma única maneira com os números de 2 a 20 (é o caso do 17, 13 x 4 = 52). A única soma de 4 ate 20 que não tem essa característica é o 11. Porém ainda tem somas maiores que 20, para elimina-las pensei o seguinte: todo número maior que 20 pode ser formado pela soma de dois números maiores que 10, e o produto desses dois números vai ser maior que 100, porém, dentro dos números de 2 a 20, esse produto só pode ser formado por essa multiplicação, e somente ela. Exemplo: soma 27, pode ser formado por 14 + 13, um dos possíveis produtos dessa soma é 182, que dentro dos números de 2 a 20 pode ser formado unicamente por essa multiplicação (14 x 13). Concluindo, se a pessoa P recebesse qualquer produto maior que 100, ela saberia na hora os números eleitos e a soma da pessoa S. Logo, todas as somas maiores que 20 são inválidas, e como dito anteriormente, a única soma menor que 20 válida é o 11, Logo a soma é 11.
Já pensei muito para tentar descobrir o produto, ou tentar encontrar outra soma válida, mas não consegui.

Concordo com o seu raciocínio:

P = 8, P = 9, P = 10, P = 15 não válidas pois S não poderia dizer o que disse na 1ª vez

P = 12 é válida, pois 3.4 = 12 e 2.6 = 12.

Expandindo a tabela:

S = 2 + 7 = 9 ---> P = 14 ----> Não é válida (2 e 7)
S = 3 + 6 = 9 ---> P = 18 ----> Válida
S = 4 + 5 = 9 ---> P = 20 ----> Válida pois 2.10 = 20

S = 2 + 8 = 10 ---> P = 16 ---> Válida pois 4.4 = 16
S = 3 + 7 = 10 ---> P = 21 ---> Não é válida (3 e 7)
S = 4 + 6 = 10 ---> P = 24 ---> Válida
S = 5 + 5 = 10 ---> P = 25 ---> Não é válida (5 e 5)

S = 2 + 9 = 11 ---> P = 18 ---> Válida
S = 3 + 8 = 11 ---> P = 24 ---> Válida
S = 4 + 7 = 11 ---> P = 28 ---> Válida pois 2.14 = 28
S = 5 + 6 = 11 ---> P = 30 ---> Válida pois 3.10 = 30 e 2.15 = 30

E assim por diante