Área

Considere o quadrante de raio R da figura. Calcule a área assinalada(a pintada de preto).(No meu desenho não parece, mas todas as figuras abaixo são tangentes entre si.)

Gabarito:

Sejam:

ABC o quadrante, com A no ângulo reto, B no raio horizontal e C no vertical.
M = ponto médio de AB ---> AB = AC = R ---> AM = BM = R/2
O = centro do círculo, de raio r
N, P pontos de tangência entre o semi-círculo e o círculo e entre o círculo e AC  

1) Una M com N e com O ---> MN = R/2, ON = r ---> MO = R/2 + r = (R + 2r)/2

2) Una O com P ---> OP = r

3) Por O trace uma perpendicular a AB no ponto H:

AH = OP----> AH = r
AH + HM = AM ---> r + HM = R/2 ---> HM = (R - 2r)/2

No triângulo retângulo OHM ---> OH² + HM² = MO² --->

OH² + [(R - 2r)/2]² = [(R + 2r)/2]² ---> OH² = 2.R.r

Tente completar (tenho um compromisso agora). Falta apenas calculr o valor de r em função de R

Lembre-se que S = pi.R²/4 - pi.(R/2)²/2 - pi.r²

Muito obrigado mesmo mestre, no entanto eu já havia realizado todos esses passos, inclusive fiz questões antes nas quais eu só precisava relacionar r com R, agora minha duvida cruel, e justamente essa relação me esqueci e to me esforçando muito aqui tentando muitas figuras , só que ainda não saiu, se alguém puder só fazer a relação entre os raios ia me ajudar muito, e apenas essa a  minha duvida na questão.

Uma sugestão  por desenho geométrico.
1 -Faça um desenho do quadrante em escala.
2 - Trace uma paralela ao eixo vertical passando S . Com uma ponta do compasso sobre esse eixo , posicione a outra ponta  tangenciando o círculo de raio R, o eixo vertical do quadrante e o  arco do quadrante de raio R.
Observe que este círculo tangencia também  o eixo que passa por F, mostrando que seu diâmetro corresponde a metade do raio do quadrante.

eu consegui montar em escala seguindo suas instruções, no entanto eu gostaria de saber os cálculos.

A solução que fiz foi por desenho geometrico, e a única conta é 2r=R/2 .A resolução algébrica,  o mestre Elcio já te mostrou um caminho.

Na verdade foi 2r=R/2

Caso alguém venha a tentar calcular não precisa mais, ja consegui calcular o raio.

Foi erro de digitação. 
Por favor ,poste à sua resolução.

Certo,
Basta notar que de A a K temos o Raio R do quadrante, e de A a O, temos R-r.

Aplicando pitagoras neste triangulo,Temos:

(R-r)^2=r^2+(2√(R/2).(r))^2

Resolvendo a igualdade:
R=4r


Apos e só usar que a área desejada e a area do quadrante ´-a area do circulo de raio r- a area do semicirculo de raio R/2.