Distribuição de Frutas (Com repetição - PIE)

De quantas maneiras podemos distribuir 6 maçãs, 7 laranjas e 8 pêras em três caixas diferentes de modo que cada caixa receba pelo menos uma fruta de cada tipo ?

Preciso resolver usando PIE ( Princípio da Inclusão e Exclusão).

Resp : 3.150

Dividindo em três tipos de frutas temos : 

Maçãs : x1 + x2 + x3 = 6

CR(6,3) = 28

Laranjas : x1 + x2 + x3 = 7

CR(7,3) = 36

Pêras : x1 + x2 + x3 = 8

CR(8,3) = 45

Total : 28*36*45 = 45.360

Esse é o total de possibilidades sem nenhuma restrição. Estou com dificuldades em continuar a partir daqui, alguém pode me ajudar ? Obrigado.

Seja bem-vindo Loreto. Vc calculou o número de soluções não-negativas da equação x1 + x2 + x3 = 6 , porém não pode haver solução nula pois cada caixa deve receber pelo menos uma fruta, para isso podemos efetuar uma troca de variáveis: sejam x1 = a1 + 1 ; x2 = a2 + 1 ; x3 = a3 + 1
a1 + a2 + a3 = 3
CR(3,3) = C(5,3) = 10
analogamente, laranjas:
a1 + a2 + a3 = 4
CR(3,4) = C(6,4) = 15
maçãs:
a1 + a2 + a3 = 5
CR(3,5) = C(7,5) = 21

10.15.21 = 3150

Compreendi. Mas é que eu preciso resolver esse exercício utilizando o Princípio da Inclusão e Exclusão, por isso usei o número de soluções não negativas para depois tirar as condições, ficaria algo assim : 

"Distribuir de uma vez os três tipos de frutas existentes é um processo muito complicado e trabalhoso. Para solucionar o problema vou dividir os três grupos de frutas e utilizar o conhecimento de combinações com repetição (combinações completas).

Maçãs: c_1 + c_2 + c_3 = 6 ==> CR6,3 = C6+3-1,6 = C8,6 = 28

Laranjas: c_1 + c_2 + c_3 = 7 ==> CR7,3 = C7+3-1,7 = C9,7 = 36

Peras: c_1 + c_2 + c_3 = 8 ===> CR8,3 = C8+3-1,8 = C10,8 = 45

Total: 28*36*45 = 45.320

Na contagem anterior estão todos os casos possíveis de distribuir as frutas nas caixas, inclusive os casos da restrição, ou seja, em que há: exatamente uma caixa vazia; exatamente duas caixas vazias. Para calcular o número de casos em que há caixa(s) vazia(s) vou utilizar o método de contagem conhecido como Princípio da Inclusão-Exclusão.

Da mesma forma como procedido anteriormente, é viável dividir os três grupos de frutas.

Fixando uma caixa vazia. Forma de escolher uma caixa entre as três disponíveis: C 3, 1 = 3.

Maçãs: c_1 + c_2 + c_3 = 6 ==> CR6,2 = C6+2-1,6 = C7,6 = 7

Laranjas: c_1 + c_2 + c_3 = 7 ==> CR7,2 = C7+2-1,7 = C8,7 = 8

Peras: c_1 + c_2 + c_3 = 8 ===> CR8,2 = C8+2-1,8 = C9,8 = 9

subtotal: 3*7*8*9 = 1.512

Fixando duas caixas vazias. Forma de escolher duas caixas entre as três disponíveis: C 3, 2 = 3.

Maçãs: c_1 + c_2 + c_3 = 6 ==> CR6,1 = C6+1-1,6 = C6,6 = 1

Laranjas: c_1 + c_2 + c_3 = 7 ==> CR7,1 = C7+1-1,7 = C7,7 =1

Peras: c_1 + c_2 + c_3 = 8 ===> CR8,1 = C8+1-1,8 = C8,8 = 1

subtotal: 3*1*1*1 = 3

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão temos que a resposta para a pergunta do problema é: 45.320 - 1.512 - 3 = 43.805. ? O gabarito não está correto?"


Mas a resolução não bateu. 

O primeiro método é mais rápido e direto pois já retira os casos de caixa vazia. Mas resolvendo dessa forma , antes do produto vc deve primeiro subtrair os casos de restrição de cada fruta isoladamente:

maçãs
total : 28
com uma caixa vazia:
CR(6,2) = 7 , mas poderia ser a primeira vazia ou a segunda vazia ou a terceira vazia ( #(A)= #(B) = #(C) ) :
3.7 = 21

com duas caixas vazias : CR(6,1) = 1
poderia ser a primeira e a segunda vazias, a segunda e a terceira vazias, ou a terceira e a primeira vazias ( #(A∩B)= #(B∩C)=#(A∩C) ) : 3.1 = 3
#(A∩B∩C) = 0

do princípio inclusão-exclusão: 21 - 3 + 0 = 18
assim: 28-18 = 10

analogamente:
laranjas: 3.8  - 3.1 + 0 = 21
36-21 = 15

peras: 3.9 - 3.1 + 0 = 24
45-24 = 21

10.15.21 = 3150

Hola Loreto.

Acredito que a solução pelo método de inclusão-exclusão ficaria mais complicado que isso, pois há varias possibilidades para ´exclusão: caixas vazias; caixas com uma só fruta; com duas(iguais ou diferentes); com 3 do mesmo tipo (ou 2 tipos); 4 do mesmo tipo (ou 2 tipos) etc.. em qualquer combinação de caixas.
A primeira solução é bem clara, simples e objetiva, aquela que fiz para vc a primeira vez..


Palavras do amigoTiririca.

Muito Obrigado Monitor Luck e Paulo Testoni em me ajudarem. Não sabia que nesse exercício deveriamos trabalhar o PIE de forma isolada em cada caso. De fato, o uso o PIE não é eficiente, e o seu primeiro método e igualmente o Paulo Testoni são bem mais claros e simples. 
Acredito que a resolução usando o PIE esteja correta Paulo Testoni, pois quando o Luck usou o PIE isoladamente para o cálculo de laranjas, maçãs e Peras ele acabou considerando os casos que você mencionou faltar na resolução, eu também havia ficado em dúvida quanto a isso. 
Abração xD

Hola Loreto.

O Luck e todos os demais monitores e colaboradores estão aqui para ajudar no que for possível.