Problema - (distribuição de frutas)
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Problema - (distribuição de frutas)
por Paulo Testoni Qui 23 Jun 2011, 16:12
De quantas maneiras podemos distribuir 8 maçãs, 10 peras e 7 laranjas em quatro
caixas, se cada caixa deve receber ao menos uma fruta?
R = 5239868
caixas, se cada caixa deve receber ao menos uma fruta?
R = 5239868
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Uma solução.
por Carlos Eustáquio pinto Seg 02 Jan 2012, 18:39
Distribuir de uma vez os três tipos de frutas existentes é um processo muito complicado e trabalhoso. Para solucionar o problema vou dividir os três grupos de frutas e utilizar o conhecimento de combinações com repetição (combinações completas).
Maçãs: c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 8
CR 8, 4 = C 8 + 4 – 1, 8 = C 11, 8 = 11!/(8!3!) = 11*10*9/3*2*1 = 11*5*3 = 165.
Peras: c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 10
CR 10, 4 = C 10 + 4 – 1, 10 = C 13, 10 = 13!/(10!3!) = 13*12*11/3*2*1 = 13*2*11 = 286.
Laranjas: c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 7
CR 7, 4 = C 7 + 4 – 1, 7 = C 10, 7 = 10!/(7!3!) = 10*9*8/3*2*1 = 10*3*4 = 120.
Total: 165*286*120 = 5.662.800.
Na contagem anterior estão todos os casos possíveis de distribuir as frutas nas caixas, inclusive os casos da restrição, ou seja, em que há: exatamente uma caixa vazia; exatamente duas caixas vazias e exatamente três caixas vazias. Para calcular o número de casos em que há caixa(s) vazia(s) vou utilizar o método de contagem conhecido como Princípio da Inclusão-Exclusão.
Da mesma forma como procedido anteriormente, é viável dividir os três grupos de frutas.
Fixando uma caixa vazia.
Forma de escolher uma caixa entre quatro disponíveis: C 4, 1 = 4.
Maçãs: CR 8, 3 = C 8 + 3 – 1, 8 = C 10, 8 = 45.
Peras: CR 10, 3 = C 10 + 3 – 1, 10 = C 12, 10 = 66.
Laranjas: CR 7, 3 = C 7 + 3 – 1, 7 = C 9, 7 = 36.
Subtotal: 4*45*66*36 = 427.680.
Fixando duas caixas vazias.
Forma de escolher duas caixas entre quatro disponíveis: C 4, 2 = 6.
Maçãs: CR 8, 2 = C 8 + 2 – 1, 8 = C 9, 8 = 9.
Peras: CR 10, 2 = C 10 + 2 – 1, 10 = C 11, 10 = 11.
Laranjas: CR 7, 2 = C 7 + 2 – 1, 7 = C 8, 7 = 8.
Subtotal: 6*9*11*8 = 4.752.
Fixando três caixas vazias. Só há 4 maneiras de fixar três caixas vazias, pois é colocar todas as frutas em um das quatro caixas disponíveis.
Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão temos que a resposta para a pergunta do problema é:
5.662.800 – 427.680 + 4.752 – 4 = 5.239.868.
Maçãs: c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 8
CR 8, 4 = C 8 + 4 – 1, 8 = C 11, 8 = 11!/(8!3!) = 11*10*9/3*2*1 = 11*5*3 = 165.
Peras: c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 10
CR 10, 4 = C 10 + 4 – 1, 10 = C 13, 10 = 13!/(10!3!) = 13*12*11/3*2*1 = 13*2*11 = 286.
Laranjas: c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 7
CR 7, 4 = C 7 + 4 – 1, 7 = C 10, 7 = 10!/(7!3!) = 10*9*8/3*2*1 = 10*3*4 = 120.
Total: 165*286*120 = 5.662.800.
Na contagem anterior estão todos os casos possíveis de distribuir as frutas nas caixas, inclusive os casos da restrição, ou seja, em que há: exatamente uma caixa vazia; exatamente duas caixas vazias e exatamente três caixas vazias. Para calcular o número de casos em que há caixa(s) vazia(s) vou utilizar o método de contagem conhecido como Princípio da Inclusão-Exclusão.
Da mesma forma como procedido anteriormente, é viável dividir os três grupos de frutas.
Fixando uma caixa vazia.
Forma de escolher uma caixa entre quatro disponíveis: C 4, 1 = 4.
Maçãs: CR 8, 3 = C 8 + 3 – 1, 8 = C 10, 8 = 45.
Peras: CR 10, 3 = C 10 + 3 – 1, 10 = C 12, 10 = 66.
Laranjas: CR 7, 3 = C 7 + 3 – 1, 7 = C 9, 7 = 36.
Subtotal: 4*45*66*36 = 427.680.
Fixando duas caixas vazias.
Forma de escolher duas caixas entre quatro disponíveis: C 4, 2 = 6.
Maçãs: CR 8, 2 = C 8 + 2 – 1, 8 = C 9, 8 = 9.
Peras: CR 10, 2 = C 10 + 2 – 1, 10 = C 11, 10 = 11.
Laranjas: CR 7, 2 = C 7 + 2 – 1, 7 = C 8, 7 = 8.
Subtotal: 6*9*11*8 = 4.752.
Fixando três caixas vazias. Só há 4 maneiras de fixar três caixas vazias, pois é colocar todas as frutas em um das quatro caixas disponíveis.
Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão temos que a resposta para a pergunta do problema é:
5.662.800 – 427.680 + 4.752 – 4 = 5.239.868.
Carlos Eustáquio pinto- Iniciante
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