Problema - (distribuição de dinheiro)

De quantos modos distintos pode-se distribuir 15 reais entre 4 crianças de modo que cada criança receba pelo menos 1 real e a criança mais velha não receba mais de 7 reais? R= 329

Inicialmente vamos garantir que “cada criança receba pelo menos 1 real” dando 1 real para cada uma.

Agora nossa questão se resume em:
De quantos modos distintos pode-se distribuir 11 reais entre 4 crianças de modo que a criança mais velha não receba mais de 7 reais?

Vamos deixar de lado a restrição “de modo que a criança mais velha não receba mais de 7 reais” e repartir as 11 balas entre as 4 crianças.
(A, B, C, D)

Duas possibilidades estão representadas no esquema abaixo:



Assim, o total de soluções inteiras não negativas para a equação A + B + C + D = 11 é:



Agora vamos determinar os casos que não nos interessam:

A criança A (mais velha) recebe 7 moedas.
Devemos repartir as quatro moedas restantes entre as crianças B, C e D, ou seja, determinar o número de soluções inteiras não negativas da equação B + C + D = 4. Usando a ideia acima teremos:


A criança A (mais velha) recebe 8 moedas.
Devemos repartir as três moedas restantes entre as crianças B, C e D, ou seja, determinar o número de soluções inteiras não negativas da equação B + C + D = 3. Usando a ideia acima teremos:


A criança A (mais velha) recebe 9 moedas.
Devemos repartir as duas moedas restantes entre as crianças B, C e D, ou seja, determinar o número de soluções inteiras não negativas da equação B + C + D = 2. Usando a ideia acima teremos:


A criança A (mais velha) recebe 10 moedas.
Devemos dar a moeda restante a uma das crianças B, C e D, ou seja, temos 3 possibilidades.

A criança A (mais velha) recebe 11 moedas. Temos apenas 1 possibilidade.

Total de casos que devem ser excluídos: 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35


364 – 35 = 329