Equações diferenciais

por Adriana Luz Lima Qua 11 Jun 2014, 22:30

Identifique e resolva as equações lineares
^{d) L.(di/dt) + Ri = E; i(0)=i}₀,^{L,R, E e i}₀^Constantes
Obs: A letra d) Representa um circuito em serie contendo apenas um resistor e um indutor. Através da segunda Lei de Kirchhoff que estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(di/dt)) e no resistor (iR)é igual à voltagem aplicada no circuito (E(t)), obtemos a EDO para a corrente i(t).

por Man Utd Qua 11 Jun 2014, 23:33

É linear,consegue dizer o pq??

$\\\\\\ L\frac{di}{dt}+Ri=E \\\\\\ \frac{di}{dt}+\frac{Ri}{L}=\frac{E}{L} \\\\\\ \frac{di}{dt}=\frac{E-Ri}{L} \\\\\\ \frac{di}{E-Ri}=\frac{dt}{L}$

$\\\\\\ \int \; \frac{di}{E-Ri}=\int \; \frac{dt}{L} \\\\\\ -\frac{\ln|E-Ri|}{R}=\frac{t}{L}+C \\\\\\ \ln|E-Ri|=-\frac{Rt}{L}-C \\\\\\ \ln|E-Ri|=-\frac{Rt}{L}+C \\\\\\$

$\\\\ E-Ri=Ce^{-\frac{Rt}{L}} \\\\ i=\frac{E-Ce^{-\frac{Rt}{L}} }{R}$

Consegue fazer o PVI ?

por Adriana Luz Lima Qui 12 Jun 2014, 07:51

Nossa, ta difícil...ainda não consigo

por Man Utd Qui 12 Jun 2014, 10:52

Aplicando o PVI : $i(0)=i_{0}$

$\\\\ i_{0}=\frac{E-Ce^{-\frac{R*0}{L}} }{R} \\\\\\ i_{0}=\frac{E-C }{R} \\\\\\ C=E-Ri_{0}$

Então :

$\\\\\\ i=\frac{E-\left( E-Ri_{0} \right )e^{-\frac{Rt}{L}} }{R} \\\\\\ i=\frac{E+\left(Ri_{0}-E \right )e^{-\frac{Rt}{L}} }{R} \\\\\\ i=\frac{E}{R}+\left(i_{0}-\frac{E}{R} \right )e^{-\frac{Rt}{L}}$

Está é a solução do PVI.

por Adriana Luz Lima Sáb 14 Jun 2014, 21:56

Mandei esta questão assim, e minnha tutora falou que falta o fator integrante e por isso ta incorreta, pode me ajudar?
Obrigada e abraços

por Man Utd Dom 15 Jun 2014, 13:26

Adriana Luz Lima escreveu:Mandei esta questão assim, e minnha tutora falou que falta o fator integrante e por isso ta incorreta, pode me ajudar?
Obrigada e abraços

Não está errado , talvez ela falou isso porque queria que fizesse pelo fator integrante e eu fiz por separação de variavéis.
.

2) solução usando fator integrante.

$\\\\ L\frac{di}{dt}+Ri=E \\\\ \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}$

dada uma eq. diferencial linear de 1º ordem : $\\\\ y^{\prime}+P(x)y=Q(x)$ , onde $\\\\ Q(x) \neq 0$ então o fator integrante é dado por : $\\\\ \LARGE \mu(x)=e^{\left( \int P(x) \; dx \right)}$

Segue : $\\\\ \LARGE \mu(t)=e^{\left( \int \frac{R}{L} \; dt \right)}=e^{\frac{Rt}{L}}$

$\\\\\\ e^{\frac{Rt}{L}}*\frac{di}{dt}+\frac{R*e^{\frac{Rt}{L}}*i}{L}=\frac{e^{\frac{Rt}{L}}*E}{L} \\\\\\ \left( e^{\frac{Rt}{L}}*i \right)^{\prime}=\frac{e^{\frac{Rt}{L}}*E}{L} \\\\\\ \int \; \left( e^{\frac{Rt}{L}}*i \right)^{\prime} \; dt=\int \; \frac{e^{\frac{Rt}{L}}*E}{L} \; dt \\\\\\ e^{\frac{Rt}{L}}*i =\frac{e^{\frac{Rt}{L}}*E}{R} +C$

$\\\\\\ i(t) =\frac{E}{R} +\frac{C}{e^{\frac{Rt}{L}}} \\\\\\ i(t) =\frac{E}{R} +Ce^{-\frac{Rt}{L}}$

da condiçao inicial : $\\\\\\ i(0)=i_{0}$ :

$\\\\\\ i(0) =\frac{E}{R} +Ce^{-\frac{R*0}{L}} \\\\\\ i_{0} =\frac{E}{R} +C \\\\\\ C =i_{0}-\frac{E}{R}$

Então a solução do PVI é :

$\\\\\\ \boxed{ \boxed{ \boxed{i(t) =\frac{E}{R} +\left( i_{0}-\frac{E}{R} \right )*e^{\left(-\frac{R*t}{L} \right)} }}}$

por Adriana Luz Lima Ter 17 Jun 2014, 08:23

Olha só meu amigo, estou muito confuso nesta questão, minha tutora disse o seguinte:
"Adriana, por que no seu fator integrante aparece Rt/L, de onde vem o t?"
E agora?
Desculpe por incomodar mais uma vez
Abraço e obrigado

por Man Utd Ter 17 Jun 2014, 10:06

Adriana Luz Lima escreveu:Olha só meu amigo, estou muito confuso nesta questão, minha tutora disse o seguinte:
"Adriana, por que no seu fator integrante aparece Rt/L, de onde vem o t?"
E agora?
Desculpe por incomodar mais uma vez
Abraço e obrigado

Vem da integração :

$\large \\\\\\ \mu(x)=e^{ \left( \int \; \frac{R}{L} \; dt\right )} \\\\\\ \mu(x)=e^{ \left( \; \frac{R{\color{Red} t}}{L} \right )}$

A solução está correta, se houver algum erro é no enunciado.

por Adriana Luz Lima Ter 17 Jun 2014, 10:56

^{d) L.(di/dt) + Ri = E; i(0)=i}₀,^{L,R, E e i}₀^Constantes
Obs: A letra d) Representa um circuito em serie contendo apenas um resistor e um indutor. Através da segunda Lei de Kirchhoff que estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(di/dt)) e no resistor (iR)é igual à voltagem aplicada no circuito (E(t)), obtemos a EDO para a corrente i(t).