Médias de segmentos numa circunferência

Olá.

(a+b)/2 > √(ab) .:. (a+b)²/4 > ab .:. a²+2ab+b² > 4ab .:. a²-2ab+b² > 0 .:. (a-b)² > 0

Verdade, para qualquer a e b tais que a ≠ b.

Agora, a média harmônica de a e b é 2/(1/a + 1/b) = 2ab/(a+b)

Temos:

√(ab) > 2ab/(a+b) .:. ab > (4a²b²)/(a+b)², a*b diferente de 0:


1 > (4ab)/(a+b)² .:. a²+2ab+b² > 4ab .:. a²-2ab+b² > 0 .:. (a-b)² > 0, como já vimos.


Creio que seja isso. A não ser que o exercício queira que você prove isso utilizando a figura. Aí já não é minha área, .


Att.,
Pedro

Oi, vamos comprovar APENAS olhando para a figura.

Se AC = a e CB = b então o diâmetro mede a+b e o raio mede a metade disso: (a+b)/2.

Agora veja que OD é igual ao raio da circunferência. Então OD = (a+b)/2.

Note que o triângulo ADB é retângulo em D. Assim, pelas relações métricas temos que CD = RAIZ de ab  

Ainda usando relações métricas, mas agora no triângulo OCD temos que: ED = (2ab)/(a+b)    QUE É A RESOLUÇÃO DO ITEM A.

Assim a letra B fica easy:  Pois em todo triângulo retângulo, a hipotenusa é sempre maior que o cateto.

Então (a+b)/2 é maior que RAIZ de ab que por sua vez é maior que ED.