Posição relativa entre circun e reta

Dada a circunferência de equação x² + y² - 6x + 4y - 5 = 0, determinar a posição relativa de cada uma das retas abaixo achando os pontos de interseção, se existirem.

a) (r): y= x + 1

c) (t): y + 5 = 0

Olá, José Ricardo.

A posição relativa da reta vai depender da distância dela ao centro da circunferência:

Se D > R: Reta externa
Se D = R: Reta tangente
Se D < R: Reta interna

Vejamos:

x²+y²-6x+4y-5 = 0: C (-6/-2;4/-2) .:. C(3,-2) --> R = √(3²+(-2)²-(-5)) .:. R = √18=3√2

Letra A:

D = |1*3 + (-1)*(-2) + 1|/√(1²+(-1)²) .:. D = |6|/√2 .:. D = 6/√2 .:. D = 3√2

Reta tangente à circunferência.

Pontos de interseção:

Circunferência: (x-3)² + (y+2)² = 18 --> y = x+1:

(x-3)² + (x+3)² = 18 .:. x²-6x+9 + x²+6x+9 = 18 .:. 2x²+18 = 18 .:. x = 0 --> y = 1

Único ponto de interseção: P(0,1)

Letra C:

D = |0*3 + 1*(-2) + 5|/√(0²+1²) .:. D = |3|/√1 .:. D = 3

Reta interna à circunferência.

Pontos de interseção:

Circunferência: (x-3)² + (y+2)² = 18 --> y+5 = 0 .:. y = -5

(x-3)² + (-5+2)³ = 18 .:. (x-3)² = 9 .:. (x-3) = +- 3 .:. x = 0 ou x = 6

Os pontos são P(0,-5) e P'(6,-5).

Att.,
Pedro

Outro modo:

Substitua a equação da reta y = x + 1 na equação da circunferência. Você vai chegar numa equação do 2º grau em x

Calcule o discriminante ∆. Se ∆ > 0 a reta é secante. Se ∆ = 0 a reta é tangente. Se ∆ < 0 a reta é externa

Faça o mesmo com a outra reta