Equações diferenciais

por Adriana Luz Lima Qui 29 maio 2014, 09:40

Identifique quais das equações abaixo são Lineares:
dy/dx+e^xy=x²y²
dv/dt-2tv=3t²e^t²; V(0)=5
xy`+y=sqrt(x)
x(dy/dx)+sqrt(y)=e^x
Resolva as Equações Lineares da questão.

por Man Utd Qui 29 maio 2014, 16:09

Olá

A melhor definição que achei para E.D.O linear é :

Uma equação diferencial linear é uma equação diferencial da forma
$Equações diferenciais 1e176e5a8e1807f2aec1e6bc7a78bf58$ .
Dizem-se lineares porque todos os coeficientes são funções de $Equações diferenciais 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6$ e a função $Equações diferenciais 415290769594460e2e485922904f345d$ e as suas derivadas têm todas expoente 1 (ou 0).

A) Então na primeira equação vemos que o expoente de y é 2, então a equação dif. é não-linear.

B) É linear, pois segue a definição acima.

$\\\\\\ v^{\prime}-2tv=3t^2*e^{t^2}$

aplique o fator integrante que é : $\\\\\\ \mu(x)=e^{-t^2}$ , ficando com :

$\\\\\\ e^{-t^{2}}*v^{\prime}-2te^{-t^2}v=3t^2*e^{t^2}*e^{-t^2} \\\\\\ \left( v \times (e^{-t^2}) \right )^{\prime}=3t^2$

integre os dois lados em relação a "t" :

$\\\\\\ \int \left( v \times (e^{-t^2}) \right )^{\prime} \; dt=\int \; 3t^2 \; dt \\\\\\ v \times (e^{-t^2}) =t^3+C \\\\\\ v =\frac{t^3+C }{e^{-t^2}}$

C) É linear.

$\\\\\\ y^{\prime}+\frac{1}{x}*y=\frac{\sqrt x}{x}$

perceba que : $\\\\\\ xy^{\prime}+y=(x*y)^{\prime}$ , então :

$\\\\\\ (x*y)^{\prime}=\sqrt{x} \\\\\\ \int \; (x*y)^{\prime} \; dx=\int \; \sqrt{x} \; dx \\\\\\ x*y=\frac{2\sqrt{x^3}}{3}+C \\\\\\ y=\frac{2\sqrt{x}}{3}+\frac{C}{x}$

D) Não é linear, pois apresenta sqrt(y) e isto não está de acordo com a definição.

por Nath Neves Dom 22 Jun 2014, 10:59

Professor, a PVI da letra b ta correta?
v=(t³+C)/e^(-t²)
Para v(0)=5,teremos:
5=(0³+C)/e^(-0²) ∴5=(0+C)/1∴5=C∴C=5
v=(t³+5)/e^(-t²)

por Man Utd Dom 22 Jun 2014, 11:13

Nath Neves escreveu:Professor, a PVI da letra b ta correta?
v=(t³+C)/e^(-t²)
Para v(0)=5,teremos:
5=(0³+C)/e^(-0²) ∴5=(0+C)/1∴5=C∴C=5
v=(t³+5)/e^(-t²)

heheheh professor é? Tá certo sim.

Bons estudos.

por Nath Neves Dom 22 Jun 2014, 11:20

Sim, professor é quem orienta, quem mostra o cainho e eu confesso que estou aprendo mais aqui
muito obrigado

por Nath Neves Qua 25 Jun 2014, 10:23

A letra "c", mesmo estando correta foi pedido que resolvesse desta forma, vc pode verificar se estou indo certo, me ajude a responder assim (acho que coloquei um - a mais ai kkk) muito obrigado
c) xy`+y=√x
Solução:
É linear,pois satisfaz a definição acima
y`+1/x.y=√x/x
e^(-∫〖1/x dx〗) [∫〖√x/x.e^∫〖1/x dx〗 dx+C]=y(x)〗
e^(-ln(x)) [∫〖√x/x.e^(ln(x)) dx+C]=y(x)〗
e^(-ln(x)) [∫〖(x〗^(-1/2).x)dx+C]=y(x)〗
-x[2/3 x^(3/2)+C]=y(x)

por Man Utd Qua 25 Jun 2014, 11:22

Nath Neves escreveu:
e^(-ln(x)) [∫〖(x〗^(-1/2).x)dx+C]=y(x)〗
-x[2/3 x^(3/2)+C]=y(x)

Está passagem está errada, veja por que : $\\\\\\ e^{-\ln x}=e^{\ln \left( \frac{1}{x} \right )}=\frac{1}{x}$ , então continuando ficaria :

$\\\\\\ \frac{1}{x} \left( \frac{2\sqrt{x^3}}{3}+C \right )=y(x) \\\\\\ \frac{2\sqrt{x^3}}{3x}+\frac{C}{x}=y(x) \\\\\\ \frac{2\sqrt{x}}{3}+\frac{C}{x}=y(x)$

por Adriana Luz Lima Sáb 28 Jun 2014, 10:13

Eu também estou com problema nesta letra c, mesmo tendo certeza que ta correta, a tutora insiste que o fator integrante é "x" e eu não entendi porque...
Vc pode me ajudar da forma a destacar os detalhes do fator integrante? Obrigada

por Man Utd Sáb 28 Jun 2014, 11:00

Adriana Luz Lima escreveu:Eu também estou com problema nesta letra c, mesmo tendo certeza que ta correta, a tutora insiste que o fator integrante é "x" e eu não entendi porque...
Vc pode me ajudar da forma a destacar os detalhes do fator integrante? Obrigada

a usuária Nath Neves usou a fórmula que já obtem diretamente a solução da eq. dif.Se vc fizer usando o fator integrante realmente é $x$ , veja:

$\\\\\\ xy^{\prime}+y=\sqrt{x} \\\\\\ y^{\prime}+\frac{1}{x}y=\frac{ \sqrt{x} }{x}$

Fator Integrante:

$\\\\ \mu(x)=e^{\int p(x) \; dx}=e^{\int \frac{1}{x} dx}=e^{\ln x}=x$

Multiplicando na eq. dif, obtemos :

$\\\\\\ xy^{\prime}+y= \sqrt{x} \\\\\\ (x*y)^{\prime}= \sqrt{x} \\\\\\ \int \;(x*y)^{\prime} \; dx= \int \; \sqrt{x} \; dx \\\\\\\ x*y=\frac{2\sqrt{x^3}}{3}+C$

$\\\\\\\ y=\frac{2\sqrt{x^3}}{3x}+\frac{C}{x} \\\\\\\ \boxed{ \boxed{ \boxed{y=\frac{2\sqrt{x}}{3}+\frac{C}{x} }}}$