(CFO-PMERJ-2014) Porcentagem

Luciano pretende comprar um aparelho celular em uma loja que oferece desconto de 30% no preço da etiqueta para as compras à vista, ou se preferir, ele pode parcelar o preço da etiqueta em 3 prestações mensais iguais, sendo que a primeira deve ser paga um mês após a compra. A taxa mensal de juros embutida nessa venda parcelada é igual a, aproximadamente:

a) 30%. c) 20%.
b) 25%. d) 15%.

alansilva escreveu:Luciano pretende comprar um aparelho celular em uma loja que oferece desconto de 30% no preço da etiqueta para as compras à vista, ou se preferir, ele pode parcelar o preço da etiqueta em 3 prestações mensais iguais, sendo que a primeira deve ser paga um mês após a compra. A taxa mensal de juros embutida nessa venda parcelada é igual a, aproximadamente:

a) 30%. c) 20%.
b) 25%. d) 15%.

Boa noite, Alan.

Preço à vista = 100% - 30% do preço de etiqueta = 70% do preço de etiqueta.
Preço a prazo = 100% em 3 prestações iguais a 100%/3 do preço de etiqueta.

Para facilitar os cálculos usarei um exemplo número que produza valor inteiro para as prestações.
Digamos que o celular custasse 120 reais:

À vista, então, Luciano deveria pagar por ele apenas:
70% de 120 = 0,7*120 = 84 reais.

E a prazo deveria pagar 120 reais em 3 prestações iguais, a saber:
120/3 = 40 reais cada prestação.

Para fazer o cálculo adequado será necessário determinar o valor atual de cada prestação, com base na seguinte fórmula:
A = N/(1+i)^n
A = valor atual
N = valor nominal
i = taxa por período
n = número de períodos

Ficaria assim:
84 = 40/(1+i) + 40/(1+i)² + 40/(1+i)³
84 = 40*[1/(1+i) + 1/(1+i)² + 1/(1+i)³]
84/40 = 1/(1+i) + 1/(1+i)² + 1/(1+i)³
2,1 = 1/(1+i) + 1/(1+i)² + 1/(1+i)³

Para facilitar o cálculo, faremos:
1/(1+i) = k
1/(1+i)²= k²
1/(1+i)³ = k³

2,1 = k + k² + k³

donde,

k³ + k² + k - 2,1 = 0

A equação supra, do 3° grau, só consegui resolver usando o programa do Wolframalpha, que nos fornece:
k = 0,831967
1/(1+i) = 0,831967
1 = 0,831967 * (1+i)
1 = 0,831967 + 0,831967 i
0,831967 i = 1 - 0,831967
0,831967 i = 0,168033
i = 0,168033/0,831967
i = 0,20197
i% = 0,20197 * 100
i% = 20,197%
i% ≈  20%

Veja link a seguir:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=k%C2%B3+%2B+k%C2%B2+%2B+k+-+2.1+%3D+0

Não encontrei nenhum caminho mais simples.
Aguardemos que mais alguém se habilite a tentar resolver de modo menos complexo.



Um abraço.

alansilva escreveu:Luciano pretende comprar um aparelho celular em uma loja que oferece desconto de 30% no preço da etiqueta para as compras à vista, ou se preferir, ele pode parcelar o preço da etiqueta em 3 prestações mensais iguais, sendo que a primeira deve ser paga um mês após a compra. A taxa mensal de juros embutida nessa venda parcelada é igual a, aproximadamente:

a) 30%. c) 20%.
b) 25%. d) 15%.

Olá.


Uma maneira mais simples (também conhecida pelo amigo Ivomilton), mas que depende do uso de calculadora:
 
Preço de tabela = 90 (por hipótese)
Preço à vista = 90 – 30%*90 = 63 = P
Valor da prestação na compra a prazo = 90/3 = 30 = R
n = 3
Fórmula de Baily-Lenzi: i = h[12-(n-1)h)/[12-2(n-1)h, onde:
h = (nR/P)^2/(n+1) – 1.
 Portanto:
h = (3*30/63)^2/(3+1) – 1
h = 1,428571^0,5 – 1 = 0,1952284
 
i = h[12-(n-1)h)/[12-2(n-1)]h
i = 0,1952284 * [12-(3-1)* 0,1952284 *)/[12-2(3-1)]*0,1952284
i = 0,1952284 *[12-2* 0,1952284]/[12-2*2*0,1952284]
i = 0,1952284*11,609543/11,219086
i = 0,2020229  = + - 20%


Um abraço.

Vcs são bons mesmo.
Só acho que tipo de questão numa prova onde não se pode usar equipamento eletrônico e é cronometrada, foi uma covardia este tipo de questão.
Pela tabela financeira pode deduzir a porcentagem entre 19% e 20% pela fórmula do amigo Ivomilton, os valores na tebela vão decrescendo.
Mas como iria consultar a tabela no meio da prova?
 

Pessoal,

Não se pode usar calcluladora na prova. Eu cheguei até a equação de 3° grau, mas não consegui resolvê-la.

Existe algum outro método?

jojo escreveu:Pessoal,

Não se pode usar calcluladora na prova. Eu cheguei até a equação de 3° grau, mas não consegui resolvê-la.

Existe algum outro método?

Boa noite, jojo.

Encontrei esta solução no site Tutor Brasil, postada por fabit em 22.05.14:

"Então vou arbitrar um valor particular para k, o que não faz mal à generalidade da solução. Em outras palavras, a resposta não depende do valor de k que eu escolher. Digamos que k seja R$100,00. Então o preço de etiqueta do celular é de R$300,00 em 3x de 100,00 (que as lojas dizem ser "sem juros", mas há juros sim porque à vista é mais barato).

Desconto de 30% sobre 300 
[ltr]reais[/ltr]
 é 90 
[ltr]reais[/ltr]
. Você paga à vista 300-90=210.

A linha rotulada "No ato" é o que vc faz à vista. Na coluna "Antes" aparece o que é devido antes do pagamento (coluna "PGTO"). Se nessa hora você pagasse 210, levava o celular à vista. Mas se decidir parcelar, não paga nada à vista e por isso PGTO vale 0. A terceira coluna, cahamada "Depois" é o saldo devedor que remanesce após deduzir o saldo "Antes" do que estiver sendo pago. Logo "Depois"="Antes"-"PGTO". Optando pelo parcelamento, no ato ficamos com 210-0=210.

A partir desse ponto vou trabalhar com o gabarito, fazendo prova real dos 20%. Os 210 do final da linha "No ato" são acrescidos de 20% (isso se faz multiplicando por 1,2) para ficar com o "Antes" da linha "30 dias". 210x1,2=252. Mas em 30 dias o PGTO é a primeira parcela de 100. Aí o "Depois" da linha fica 252-100=152.

Esses 152 vão para o mês seguinte (linha "60 dias", coluna "Antes") acrescidos de 20%. 152x1,2=182,40. Vem a segunda parcela de 100 em PGTO e o "Depois" fica 182,40-100=82,40.

Finalmente, no "90 dias", o "Antes" é obtido multiplicando 82,40 por 1,2, que dá 98,88. Subtraindo o último PGTO de 100 
[ltr]reais[/ltr]
, dá -1,12. Essa diferençazinha nos diz que a resposta não é exata. Seria exata se 82,40 vezes 1,2 tivesse batido 100 
[ltr]reais[/ltr]
 cravados e, com isso, a última linha seria 100-100=0. Mas não foi, e a loja terminou te devendo R$1,12. Os juros embutidos são, portanto, um tiquinho a mais do que 20%.

Mas 25% seria exagero. Vejamos, de modo mais rápido:
Ato: 210 0 210-0=210.
30 dias: 210x1,25=262,50 100 262,50-100=162,50.
60 dias: 162,50x1,25=203,125 100 203,125-100=103,125 (já é mais do que 100, já estourou, mas insistamos...)
90 dias: 103,125x1,25=128,90625 100 128,90625-100=28,90 aproximadamente. Aqui vc termina devendo R$28,90 à loja.

Por tentativa e erro, o que se fez acima foi achar a raiz do polinômio P(q) de grau 3. E a solução positiva de  está ligeiramente acima de 1,2 (opção C), mas bem abaixo de 1,25 (opção B). Por isso é que o gabarito é C.

Matemática financeira avançadinha demais pra CFO-PM. É ruim botar questão assim porque premia o chute sortudo."




Um abraço.