E.Q Plano quando duas retas são concorrentes?

por XxWillXxPEL Ter 13 maio 2014, 15:54

Os pares de retas r1 e r2 são paralelos ou concorrentes.

Encontre uma equação geral do plano que as contém.

r1:
y = 2x - 3
z = -x + 2

r2:
(x-1)/3 = (z-1)/-1

y = -1

A minha dúvida é, como eu faço para encontrar uma equação geral do plano quando duas retas são concorrentes, e não posso simplesmente fazer o produto vetorial entre os normais de cada uma?

Achei o ponto de interseção das retas como P(1,-1,1)

por **arimateiab** Ter 13 maio 2014, 16:30

Olá, XxWillXxPEL.

As retas são concorrentes, como você mesmo encontrou.

r1:
y = 2x - 3
z = -x + 2

Fazendo x = θ, vem
y = -3 + 2θ
z = 2 + (-1)θ
E claramente o vetor diretor de r1 é (1, 2, -1)

Agora para r2:

r2:
(x-1)/3 = (z-1)/-1

y = -1

fazendo x = λ, vem:
y = -1
z = (4/3) + (-1/3) λ

O vetor diretor de r2 é: (1, 0, -1/3)

As retas não são paralelas, pois não existe um α tal que r1 = α*r2.
Mas são concorrentes em (1, -1, 1)

Temos os vetores diretores das retas, agora precisamos descobrir um vetor que seja perpendicular as duas retas, esse é o vetor normal ao plano e usaremos ele para determinar a equação do plano.

Basta fazer o produto vetorial entre os vetores diretores das retas.

| i j k |
|1 2 -1| = (-2/3, -2/3, -2)
|1 0 -1/3|

Agora basta escolher um ponto do conhecido, podemos usar o ponto de intersecção (1,-1,1), e fazer (x -1, y+1, z-1)

Por fim, (x -1, y+1, z-1)●(-2/3, -2/3, -2)

por XxWillXxPEL Ter 13 maio 2014, 17:23

Obrigado, amigo. Eu só não entendi como você encontrou como vetor diretor de r2: como (1,0,-1/3)

eu não poderia passar para paramétrica assim:

x = 3t + 1
y = -1
z = -t +1

e o vetor diretor seria (3,0,-1) ?

por **arimateiab** Ter 13 maio 2014, 20:27

Observe que: (3,0,-1) = 3 * (1,0,-1/3)
Ou seja, o vetor (3,0,-1) é paralelo ao vetor (1,0,-1/3).
Então, você pode escolher esse vetor (3,0,-1) caso deseje.

por Lenington Qui 29 Jun 2017, 20:36

arimateiab escreveu:Olá, XxWillXxPEL.

As retas são concorrentes, como você mesmo encontrou.

r1:
y = 2x - 3
z = -x + 2

Fazendo x = θ, vem
y = -3 + 2θ
z = 2 + (-1)θ
E claramente o vetor diretor de r1 é (1, 2, -1)

Agora para r2:

r2:
(x-1)/3 = (z-1)/-1

y = -1

fazendo x = λ, vem:
y = -1
z = (4/3) + (-1/3) λ

O vetor diretor de r2 é: (1, 0, -1/3)

As retas não são paralelas, pois não existe um α tal que r1 = α*r2.
Mas são concorrentes em (1, -1, 1)

Temos os vetores diretores das retas, agora precisamos descobrir um vetor que seja perpendicular as duas retas, esse é o vetor normal ao plano e usaremos ele para determinar a equação do plano.

Basta fazer o produto vetorial entre os vetores diretores das retas.

| i j k |
|1 2 -1| = (-2/3, -2/3, -2)
|1 0 -1/3|

Agora basta escolher um ponto do conhecido, podemos usar o ponto de intersecção (1,-1,1), e fazer (x -1, y+1, z-1)

Por fim, (x -1, y+1, z-1)●(-2/3, -2/3, -2)

Só corrigindo. O produto vetorial entre os vetores diretores das retas, que é o vetor normal do plano, é (2/3, 2/3, 2)...

Usando um ponto A(0, -3, 2) pertencente à reta r1, por exemplo, teremos: pi: (x, y+3, z-2).(2/3, 2/3, 2) -> x + y + 3z - 3 = 0. Resposta do gabarito do livro de Winterle. Abraços