P.A. - (o mágico)

por Paulo Testoni Dom 16 Ago 2009, 23:23

(UF-RJ) Mister MM, o Mágico da Matemática, apresentou-se diante de uma platéia com 50 fichas, cada uma contendo um número. Ele pediu a uma espectadora que ordenasse as fichas de forma que o número de cada uma, excetuando-se a primeira e a última, fosse a média aritmética do numero da anterior com o da posterior. Mister MM solicitou a seguir à espectadora que lhe informasse o valor da décima sexta e da trigésima quinta ficha, obtendo como resposta 103 e 46, respectivamente. Para delírio da platéia, Mister MM “adivinhou” o valor da soma de todos os números que constavam nas fichas. Determine você também esse valor

por **Robson Jr.** Seg 22 Out 2012, 13:52

Sejam os números:

$x_1, \ x_2, \ x_3, \ ..., \ x_{50}$

As fichas não-extremas são médias aritméticas das vizinhas. Portanto:

$\small \\ 2x_2=x_1+x_3\\ 2x_3=x_2+x_4 \\ 2x_4=x_3+x_5 \\ ... \\ 2x_{49}=x_{48}+x_{50}$

Rearrumando:

$\small \\ x_2-x_1=x_3-x_2 \\ x_3-x_2=x_4-x_3 \\ x_4-x_3=x_5-x_4 \\ ... \\ x_{49}-x_{48}=x_{50}-x_{49}$

Ou seja, todos os números estão em PA.

Conhecendo-se dois termos da progressão, podemos determiná-la por completo.

$\small \left\{\begin{matrix} x_{16}=103\\ x_{35}=46 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+15r=103\\ x_1+34r=46 \end{matrix}\right. \Rightarrow r=-3; \ x_1=148 \Rightarrow x_{50}=1$

A soma de todos os termos é, pois:

$\small S=\frac{(148+1)50}{2}=3725$

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