[CN 2015] - Quadrado Mágico

Observe a figura a seguir.



A figura acima é formada por círculos numerados de 1 a 9. Seja “TROCA” a operação de pegar dois
desses círculos e fazer com que um ocupe o lugar que era do outro. A quantidade mínima S de
“TROCAS” que devem ser feitas para que a soma dos três valores de qualquer horizontal, vertical ou
diagonal, seja a mesma, está no conjunto:
a) {1, 2, 3}
b) {4, 5, 6}
c) {7, 8, 9}
d) {10, 11, 12}
e) {13, 14, 15}

gabarito:

Um quadrado mágico padrão é:

8 .. 1 .. 6

3 .. 5 .. 7

4 .. 9 .. 2

Esta figura pode ser espelhada (na horizontal ou vertical) ou rotacionada em torno da casa central (5)

Note que todas as somas resultam em 15

Complete

O quadrado fornecido foi:

1  4  7 
2  5  8 
3  6  9

O que queremos é:

8  1  6
3  5  7 
4  9  2

(Ou alguma variação desse mesmo quadrado de modo que a soma das diagonais, verticais e horizontais não se altere, como o mestre Elcioschin afirmou.)

Vamos colocar os números pares nas pontas desse quadrado para formar o quadrado mágico, haverá quatro trocas:

1  4  7                  4  7  8 
2  5  8      --->      1  5  9
3  6  9                  2  3  6

Para que a soma seja 15 nas horizontais, verticais e diagonais, devemos alterar a posição dos números ímpares, havendo mais duas trocas:

4  7  8                  4  3  8
1  5  9      --->      9  5  1
2  3  6                  2  7  6

A soma das diagonais, verticais e horizontais é 15. A quantidade mínima de trocas que devemos fazer é 6.

Muitíssimo obrigado pela ajuda, mestre Elcioschin!