Indução Matemática

por MatheusMagnvs Sáb 19 Abr 2014, 14:24

Não estou com dúvida em nenhuma questão específica, apenas gostaria de sondar o tema junto aos membros. Smile

Algum dos sr.s utiliza algum 'estratégia' para resolver, genericamente, questões de indução finita, ou utilizam apenas para criatividade e do raciocínio em cada questão?

Um exemplo trivial:

Provar que 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)

Para n = 1: 2(1) = 1(1+1) = 2.

Hipótese da indução:

Para n = k: 2+4 + 6 + ... + 2k = k(k+1)

Tese da indução:

Para n = k+1: 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k+1) = (k+1)(k+2)

Somando 2(k+1) = 2k + 2 a ambos os lados da hipótese, temos:

2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2k + 2 = k(k+1) + 2(k+1) = (k+2) (k+1), conforme a tese.

Minha estratégia, em geral, é somar, subtrair ou multiplicar números (muitas vezes o último número da tese) à hipótese até que ela comprove a tese.

Entretanto, há alguns exercícios mais exigentes que esse processo se torna extremamente longo e trabalhoso. Gostaria de saber se os membros utilizam de estratégias ou lemas que ajudem na resolução de questões mais difíceis, de modo a tornar as soluções mais concisas e elegantes algebricamente.

Agradeço desde já. Smile

por gustavolol2 Dom 20 Abr 2014, 01:50

Olá Matheus
Eu, sinceramente, não tenho nenhuma estratégia diferente.Nenhum método padrão.
Quando aparece exercícios assim tento fazer com os caminhos que parecem convincentes.E nem sempre da certo.

por MatheusMagnvs Dom 20 Abr 2014, 03:05

Realmente. Em cada caso é necessário uma estratégia diferente. Por isso é um dos meus temas favoritos em matemática; me parece envolver muita criatividade, perspicácia e raciocínio.

Mas talvez haja uma abordagem diferente para alguns exercícios. Vejamos se alguém possui; sempre é bom trocar esse tipo de experiências. Very Happy