Polinômio

O resto da divisão de um polinomio por x-1 e por x+1 é igual a 4. O resto da divisão do polinômio por x é 3. Calcule o produto dos coeficientes do resto da divisão do polinomio por x³-x

Resp:0

P(1)=P(-1) = 4  ; P(0) = 3 (teorema do resto)

P(x) = (x³-x)q(x) + r(x)
P(x) = (x³-x)q(x) + ax² + bx + c
P(0) = c = 3
P(1) = a + b + c = 4 ∴ a+b = 1
P(-1) = a -b + c = 4 ∴ a-b = 1
somando:
2a = 2 ∴ a = 1 ∴ b = 0
r(x) = x² +0x + 3
produto dos coeficientes: 1.0.3 = 0

Luck escreveu:P(1)=P(-1) = 4  ; P(0) = 3 (teorema do resto)

P(x) = (x³-x)q(x) + r(x)
P(x) = (x³-x)q(x) + ax² + bx + c
P(0) = c = 3
P(1) = a + b + c = 4 ∴ a+b = 1
P(-1) = a -b + c = 4 ∴ a-b = 1
somando:
2a = 2 ∴ a = 1 ∴ b = 0
r(x) = x² +0x + 3
produto dos coeficientes: 1.0.3 = 0

Obrigada por responder. Não entendi o ax² + bx + c

Como você sabe que o p(x) é de 2ºgrau/?

alanald escreveu:

Luck escreveu:P(1)=P(-1) = 4  ; P(0) = 3 (teorema do resto)

P(x) = (x³-x)q(x) + r(x)
P(x) = (x³-x)q(x) + ax² + bx + c
P(0) = c = 3
P(1) = a + b + c = 4 ∴ a+b = 1
P(-1) = a -b + c = 4 ∴ a-b = 1
somando:
2a = 2 ∴ a = 1 ∴ b = 0
r(x) = x² +0x + 3
produto dos coeficientes: 1.0.3 = 0

Obrigada por responder. Não entendi o ax² + bx + c

O grau do resto é sempre menor que o grau do divisor, como o divisor tem grau 3 ,então o resto tem grau menor ou igual a 2 , assim vc pode escrever r(x) = ax² + bx + c

Ahh, entendi. Mas se é o resto que tem grau 2, então por que você aplicou essa relação no p(x): P(1) = a + b + c = 4 ∴ a+b = 1
P(-1) = a -b + c = 4 ∴ a-b = 1 ??
Como você sabe que o grau do polinomio também é 2?

alanald escreveu:Ahh, entendi. Mas se é o resto que tem grau 2, então por que você aplicou essa relação no p(x): P(1) = a + b + c = 4 ∴ a+b = 1
P(-1) = a -b + c = 4 ∴ a-b = 1 ??
Como você sabe que o grau do polinomio também é 2?

Eu não disse que o grau do polinômio é 2, veja:
Para descobrir o resto da divisão de P(x) pelo divisor (x³-x) foi usado a relação : dividendo = (divisor)(quociente) + resto
então vc pode escrever p(x) como:
P(x) = (x³-x)q(x) + r(x) , sendo r(x) = ax² + bx + c
para x = 0 , temos P(0) = (0³-0)q(0)+ r(0) ∴ P(0) = r(0) = c
para x = 1, P(1) = (1³-1)q(1) + r(1) ∴ P(1) = r(1) = a+b+c
para x = -1, P(-1) = [(-1)³-(-1)]q(-1) + r(-1)  ∴ P(-1) = r(-1) = a-b+c
Como P(1) = P(-1) = 4 e P(0) = 3 , vc cai no sistema:
c = 3
a+b+c = 4
a-b+c = 4
disso vc obtém a = 1 , b = 0
então r(x) = x² +3
e P(x) = (x³-x)q(x) +x²+3 ,só é possível obter P(x) e seu grau conhecendo o quociente que não foi dado ou vice-versa.