Somatório fatorial

por **jango feet** Sex 18 Abr 2014, 11:36

Prove que:

$\sum_{i=1}^{n} i/(1+i)! =1 -1/(n+1)!$

por **Robson Jr.** Sex 18 Abr 2014, 17:23

Escrevamos o termo genérico numa forma conveniente:

$\small \frac{i}{(i+1)!}=\frac{(i+1)-1}{(i+1)!}=\frac{i+1}{(i+1)!}-\frac{1}{(i+1)!}=\frac{1}{i!}-\frac{1}{(i+1)!}$

Agora ficou fácil:

$\small \\ \sum_{i=1}^{n}\left ( \frac{1}{i!}-\frac{1}{(i+1)!} \right )=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i!}-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(i+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!}+{\color{Red} \sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i!}}-{\color{Red} \sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{(i+1)!}}$

Como os somatórios em vermelho são iguais:

$\small \boxed{\sum_{i=1}^{n}\left ( \frac{1}{i!}-\frac{1}{(i+1)!} \right )=1-\frac{1}{(n+1)!}}$

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