Somatório e fatorial

Prove que:


Não consigo desenvolver, além de resolver, poderiam me dar alguma dica para resolver problemas que envolvam somatório, alguma forma de pensar, não sei.

Expandindo esse somatório de trás pra frente teriamos:

Provando por PIF.

Hipótese: 1/2! + 2/3! + 3/4! + ... + i/(i + 1)! = 1 - 1/(n + 1)!

Base = 1

1/2! = 1/2 <-------------> 1 - 1/(1 + 1)! <-> 1 - 1/2 <-> 2/2 - 1/2 <-> 1/2 

Base OK!

Sabendo que funciona para um certo valor, nos convém querer saber se funcionará para um determinado valor de i, onde chamaremos de k.


Com isso queremos provar que funcionará para o sucessor de k.


1/2! + 2/3! + 3/4! + ... + k/(k + 1)! + (k + 1)/(k + 2)! = 1 - 1/[(k + 1) + 1)]!

[1/2! + 2/3! + 3/4! + ... + k/(k + 1)!] = 1 - 1/(k + 1)!


1 - 1/(k + 1)! + (k + 1)/(k + 2)! = 1 - 1/(k + 2)!
1 - (k + 2)!/(k + 1)!(k + 2)! + (k + 1)(k + 1)!/(k + 2)!(k + 1)! = 1 - 1/(k + 2)!
1 + [-(k + 2)! + (k + 1)(k + 1)!]/(k + 1)!(k + 2)! = 1 - 1/(k + 2)!
1 + [-(k + 2)(k + 1)! + (k + 1)(k + 1)!]/(k + 1)!(k + 2)! = 1 - 1/(k + 2)!
1 + {(k + 1)![-(k + 2) + (k + 1)]}/(k + 1)!(k + 2)! = 1 - 1/(k + 2)!
1 + [- k - 2 + k + 1]/(k + 2)! = 1 - 1/(k + 2)!
1 + [- 1]/(k + 2)! = 1 - 1/(k + 2)!
1 - 1/(k + 2)!  = 1 - 1/(k + 2)!


Portanto a igualdade é verdadeira.


Obsv. Sei que tem uma forma de resolver isso usando soma telescópica, mas como não entendo muito sobre o assunto, vou responder usando PIF.

vlw gente!