Indução Matemática

por MatheusMagnvs Ter 01 Abr 2014, 07:42

Para n elemento dos naturais não nulos, prove que

1/2 + (2/2²) + (3/2³) + ... + (n/2^n) = 2 - (n+2/2^n)

por **Robson Jr.** Ter 01 Abr 2014, 10:27

Para n = 1, a expressão é válida:

$\small \frac{1}{2}=2-\frac{1+2}{2^1} \Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Supondo que seja válida para n = k:

$\small \frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+...+\frac{k}{2^k}=2-\frac{k+2}{2^k} \\\\ \Rightarrow \ \frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+...+\frac{k}{2^k}+\frac{k+1}{2^{k+1}}=2-\frac{k+2}{2^k}+\frac{k+1}{2^{k+1}} \\\\ \Rightarrow \ \frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+...+\frac{k}{2^k}+\frac{k+1}{2^{k+1}}=2-\frac{2k+4-k-1}{2^{k+1}} \\\\ \Rightarrow \ \frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+...+\frac{k}{2^k}+\frac{k+1}{2^{k+1}}=2-\frac{(k+1)+2}{2^{k+1}} \\\\ \Rightarrow \ \text{Vale para k+1}$

Portanto, pelo Princípio da Indução Finita, a expressão é válida para todo natural não-nulo, o que conclui a demonstração.

por MatheusMagnvs Ter 01 Abr 2014, 11:20

Grato.

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