Trigonometria e relações
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Trigonometria e relações
por Usuariodoensinomedio Sex 14 Mar 2014, 13:27
Na figura ao lado, ABC e DEC são triângulos retângulos. Se EB=1/2, EC=1 e AD=1, calcule a medida do segmento DC.
Imagem: https://www.mediafire.com/?yl8idohr3j7awuo
PS: Questão aberta, não há alternativas, caso queira conferir no formato original, o site é : http://www.ufcg.edu.br/~ocm/index.php/provas-e-gabaritos , prova de 2009, Nível 3, Parte 2, questão 2.
Imagem: https://www.mediafire.com/?yl8idohr3j7awuo
PS: Questão aberta, não há alternativas, caso queira conferir no formato original, o site é : http://www.ufcg.edu.br/~ocm/index.php/provas-e-gabaritos , prova de 2009, Nível 3, Parte 2, questão 2.
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Re: Trigonometria e relações
por Luck Sex 14 Mar 2014, 18:07
Como EB = 1/2 , EC =1 , então E^CB = 30º , CB = √3/2
Seja θ o ângulo D^CE e DC = x :
cosθ = EC/DC = 1/x ∴ senθ = √(x²-1)/x
cos(θ+30º) = CB/AC = (√3/2)/(x+1)
cosθcos30º - senθsen30º = √3/(2(x+1))
[(√3)/(2x)] - [(√(x²-1))/(2x)] = √3/(2(x+1))
(x+1)√3 - (x+1)√(x²-1) = x√3
(x+1)√(x²-1) = (x+1)√3 - x√3
(x+1)√(x²-1) = √3
(x+1)²(x²-1) = 3
x^4 +2x³ -2x -4 = 0
x = -2 é raíz , por briot-ruffini obtemos:
(x+2)(x³-2) = 0
Logo, x = ∛2 .
Seja θ o ângulo D^CE e DC = x :
cosθ = EC/DC = 1/x ∴ senθ = √(x²-1)/x
cos(θ+30º) = CB/AC = (√3/2)/(x+1)
cosθcos30º - senθsen30º = √3/(2(x+1))
[(√3)/(2x)] - [(√(x²-1))/(2x)] = √3/(2(x+1))
(x+1)√3 - (x+1)√(x²-1) = x√3
(x+1)√(x²-1) = (x+1)√3 - x√3
(x+1)√(x²-1) = √3
(x+1)²(x²-1) = 3
x^4 +2x³ -2x -4 = 0
x = -2 é raíz , por briot-ruffini obtemos:
(x+2)(x³-2) = 0
Logo, x = ∛2 .
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