pontos medios

Acredito que você tenha somado os lados, não os perímetros. E veja que o enunciado pede a soma dos perímetros dos triângulos construídos, isto é, não acho que deve ser considerado o triângulo original (de lado 3x). 


Como os triângulos construídos são equiláteros, o lado de um triângulo será igual à metade do lado do triângulo anterior. Os lados serão, então, k, k' = k/2, k'' = k/4.., formando uma PG de razão 1/2. A soma dos perímetros será:

3k + 3k' + 3k'' + ... = 3. (k+k'+k''...)

A parte entre parênteses é a soma dos termos de uma PG ilimitada que converge:

S = 3S' = 3.(a1/1-q) = 3.(k/1-1/2) = 3.(3x/1/2) = 18x

Essa soma inclui o triângulo original, mas foi pedido apenas a soma dos perímetros dos triângulos construídos. Assim, S = 18x - 3.3x = 18x - 9x 


S = 9x

(não tem uma quinta alternativa?)

Pior que não.

Acho que 3x é o perímetro do triângulo original
Seu lado mede x
O novo triângulo tem lado x/2 e perímetro 3x/2
q = 1/2
a1 = 3x

S = 3x/(1 - 1/2) ----> S = 6x

É uma PG infinita de razão 1/2, sendo P o perímetro original (P=3x)

leopinna escreveu:O lado de um triângulo equilátero mede 3x. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios do novo triângulo, obtém-se outro triângulo equilátero e, assim sucessivamente. Então a soma dos perímetros de todos os triângulos construídos é:
a)5x b)6x c)7x d)8x 


Eu pensei no seguinte, como os pontos médios cortam o lado em duas partes iguais e isso acontecera sucessivamente então cheguei a conclusão que isso é uma PG de razão 1/2 , ou seja, uma PG finita pois sua razão esta entre -1 e 1.


Sn=a1/1-q
Sn=3x/1-1/2
Sn=3x/1/2
Sn=6x


Quero saber se esse raciocínio está certo ou não, caso não esteja poderiam me ajudar nela. Agradeço desde já.

Confiei no enunciado.

Acho que não é pra considerar o triângulo original (de perímetro 3x) como um dos triângulos construídos. Seria 6x-x = 5x.