Os Pontos Médios

Os pontos L,M e N são pontos médios de arestas do cubo, como mostra a figura. Quanto mede o ângulo MLN?



Gabarito 30°

É para eu saber essa questão. É a minha matéria, então eu vou fazer. =]

Tomei a liberdade de desenhar na sua ilustração três triângulos, cada um formado pela ligação entre dois dos três pontos citados.


Você pode ver que eu medi todos os lados. No triângulo que está na face inferior, as medidas são essas porque o ponto também é mediano. ^^ (Fiz todos os cálculos em Pitágoras.)

Para podermos saber qual é o ângulo do triângulo MLN, devemos saber quais são os seus lados. Os lados MN e LM, que aliás, são iguais, podem ser obtidos facilmente por Pitágoras. A medida desses lados é a√2/2.
Já o lado LN é um pouco mais complicado de se obter. LEMBRANDO QUE A FIGURA DÁ O VALOR ERRADO. (Sim, só para ver se você ia prestar atenção. XDD) Então vamos calcular o certo. Para calculá-lo, precisamos fazer Pitágoras do triângulo LNO (vamos chamar aquele ponto de O, tudo bem? o.O).

x² = (a√2/2)² + a²
x² = 2a²/4 + a²
x² = 2a²/4 + 4a²/4 = 6a²/4
x = a√6/2

Então, com esta informação, sabemos os três lados do triângulo. =D
Agora, pense no triângulo MLN sozinho, a parte, com os seus três lados. Para podermos ver as relações trigonométricas nesse triângulo, precisamos então repartir esse triângulo ao meio. Vamos repartir o lado LN através de uma reta perpendicular a este lado que passe pelo ponto M. Conseguiu mentalizar? Ótimo. Podemos fazer então assim...

cos L = a√6/4 (que seria metade do lado LN, nós o cortamos, lembra?) / a√2/2
cos L = a√6/4 / a√2/2
cos L = a√6/4 * 2/a√2 = 2a√6 / 4a√2 (Podemos cortar o "a" e o "2") = √6 / 2√2
Agora, uma racionalização:
cos L = √12 / 4 = 2√3 / 4 = √3/2

Se o cosseno de L é √3/2, então o ângulo L seria qual? O ângulo de trinta graus. =D

Desculpe os erros da figura, mas é que eu estava com um pouco de pressa... >_<
Mas eu tentei ajudar. Espero que tenha conseguido. =D

Agente Esteves escreveu:É para eu saber essa questão. É a minha matéria, então eu vou fazer. =]

Bom trabalho menina!