uefs 2014

O gráfico de f(x) = −x + bx + c, em que b e c são constantes positivas, intercepta o eixo
das abscissas em dois pontos separados por uma distância 9, e o das ordenadas em
um ponto a uma distância 14 da origem.
O valor máximo que essa função pode atingir é:

resposta 97/4

Postagem em desacordo com a Regra 11: faltaram as alternativas !!!!

Equação está errada. Suponho que o correto é y = - x² + bx + c

Sejam r, s as raízes da parábola (com concavidade para baixo) que são os pontos onde a curva corta o eixo x

r - s = 9 ---> I

Para x = 0 ---> y = ± 14 ---> ± 14 = - 0² + b.0 + c ---> c > 0 ---> c = 14

Como a curva corta o semi-eixo positivo y, uma raiz é negativa (s) e outra positiva (r)

Girard ---> r.s = c/a ---> r.s = 14/1 ---> r.s = 14 ---> s = 14/r ---> II



II em I --> r - 14/r = 9 --> r² - 9r - 14 = 0 --> r = [9 + √( 9² + 4.1.14)]/2 --> r = 9/2 + √137/2

s = r - 9 ---> s = - 9/2 + √137/2

xV = (r + s)/2 ---> xV = √137/2 ---> xV = - b/2a ---> √137/2 = - b/2.(-1) ---> b = √137

yV = - (xV)² + √137.xV + 14 ---> yV = - (√137/2)² + √137.(√137/2) + 14 --->

yV = - 137/4 + 137/2 + 14 ---> yV = 137/4 + 56/4 ---> yV = 193/4  

Não confere com seu gabarito. Favor conferir o enunciado e minhas contas

perdao, foi isso que eu vim colocar certo aqui, o gabarito é 81/4

e a formula para xV nao é (xB - xA)/2 é (xb+xa)/2 nao?
e ta certo, é -x² desculpa

Elcioschin escreveu:Postagem em desacordo com a Regra 11: faltaram as alternativas !!!!

Equação está errada. O correto é - x² + bx + c = 0

Sejam A(xA, 0) e B(xb, 0) os pontos onde o gráfico corta o eixo x

xA e xB são as raízes ----> xB - xA = 9

A abcissa do vértice é a média entra ambos: xV = (xB - xA)/2 ---> xV = 9/2

Girard ---> xV = - b/2a ---> 9/2 = - b/2.(-1) --> b = 9

c = 14

f(x)máx = - (9/2)² + 9.(9/2) + 14 = - 81/4 + 81/2 + 14 = 137/4

Não confere com seu gabarito. Favor conferir o enunciado e minhas contas

Não seria, A abcissa do vértice é a média entra ambos: xV = (xB + xA)/2 ??
Como ficariam os cálculos?

Alternativas:
a)81/4 < resposta
b)43/2
c)23
d)97/4
e)51/2

Laislilas

Você está certa quanto à abcissa do vértice: eu digitei errado o sinal -
Editei minha questão original, levando isto em consideração mas, mesmo assim não consegui chegar no gabarito.

Já que você tem "olho de águia" para detetar erros, por favor, confira todas as minhas contas!

Elcioschin escreveu:Laislilas

Você está certa quanto à abcissa do vértice: eu digitei errado o sinal -
Editei minha questão original, levando isto em consideração mas, mesmo assim não consegui chegar no gabarito.

Já que você tem "olho de águia" para detetar erros, por favor, confira todas as minhas contas!

Eu não tenho olho de águia para detectar erros, quando eu tenho dúvida numa questão analiso passo a passo para compreender completamente e quando tenho alguma dúvida no passo a passo da resolução eu pergunto sobre!!!

Quanto a sua resolução, houve erro no sinal... Você postou corretamente nesse post: https://pir2.forumeiros.com/t71942-funcao-do-ii-grau

Passando pra cá:

Sejam r, s as duas raízes da função:

r - s = 9 ----> I

Para x = 0 ---> f(0) = 14 ---> f(0) = c ----> c = 14

Relações de Girard:

r + s = - b/a ---> r + s = - b/(-1) ---> r + s = b ---> II

r.s = c/a ---> r.s = 14/(-1) ---> r.s = - 14 ---> s = - 14/r ---> III

III em I ---> r - (-14/r) = 9 ---> r² - 9r + 14 = 0 ---> Raízes r = 2 ou r = 7

Para r = 2 ----> s = - 7 ----> b = - 5 (não serve, pois b > 0)

Para r = 7 ---> s = - 2 ----> b = 5

f(x) = - x² + 5x + 14

Abcissa do vértice: xV = - b/2a ---> xV = - 5/2.(-1) ---> xV = 5/2

Valor máximo da função: f(5/2) = - (5/2)² + 5.(5/2) + 14 ---> f(5/2) = 81/4

:tiv:

Perfeito Laislilas

Veja o que um erro de sinal (rs = - 14 ao invés de rs = 14) causa.

E parabéns pelo seu modo de proceder na análise de questões. Este é o método correto para aprender.
Mas não concordo com você com uma coisa: continuo a achar que você merece o título "olho de águia"

Porque "c" não pode ser -14?

Pode até ser

Neste caso, tente fazer c = - 14

A equação III ficaria r.s = 14 ---> s = 14/r

Tente agora completar e veja se bate com alguma alternativa.

f(x)=−x²+bx+c

Se considerar c=-14, então:

r.s=-14/-1 -->s=14/r

r-s=9
r-14/r=9
r²-9r-14=0

∆=81-4.1.(-14) 
∆=137 (Não dá certo)

Agora, caso fosse considerado r=14/s, o resultado seria parecido.

r-s=9
14/s-s=9
s²+9s-14=0

∆=81-56=25 ; s'=-2 e s''=7

O curioso é que esse fenômeno não acontece com c=14. Se r=-14/s, então:

r-s=9
-14/s-s=9
s²+9s+14=0

∆=25 ; s'=7 e s''=2

*Acabei de perceber a gafe. A condição está no enunciado "b e c são constantes positivas". Obrigado mesmo assim!