UEFS 2014.1

O gráfico de f(x) = - x² + bx + c, em que b e c são constantes positivas, intercepta o eixo das abscissas em dois pontos separados por uma distância 9, e o das ordenadas em um ponto a uma distância 14 da origem. 

O valor máximo que essa função pode atingir é: 
a) 81/4 
b) 43/2 
c) 23 
d) 97/4 
e) 51/2 

CORRETA: A

kauangs escreveu:O gráfico de f(x) = - x² + bx + c, em que b e c são constantes positivas, intercepta o eixo das abscissas em dois pontos separados por uma distância 9, e o das ordenadas em um ponto a uma distância 14 da origem. 

O valor máximo que essa função pode atingir é: 
a) 81/4 
b) 43/2 
c) 23 
d) 97/4 
e) 51/2 

CORRETA: A

Boa tarde, kauangs,

diferença entre as raízes = 9
para x=0, tem-se f(x) = 14

f(x) = -x² + bx +c

..... -b ± √(b²+4c)
x = -----------------
............... -2

...... -b + √(b²+4c) ........ -b – √(b²+4c)
x' = ----------------- ; x" = ----------------
............... -2 ......................... -2

x' – x" = –√(b²+4c)

–√(b²+4c) = 9 (elevamos tudo ao quadrado, ficando:)

b²+4c = 81 ..... (I)

Fazendo-se x=0 em f(x), tem-se:
f(x) = -x² + bx + c = 0 + 0 + c = c
14 = c ............ (II)

Aplicando-se (II) em (I), vem:
b² + 4*14 = 81
b² + 56 = 81
b² = 81 - 56 = 25
b = ±5

Assim, chega-se a:
f(x) = -x² ± 5x + 14

Calculando o valor máximo que f(x) pode alcançar, tem-se:
Xv = -b/2a = ±5/-2 =∓5/2 (ou 5/-2 = -5/2)
Yv = -(∓5/2)² ± 5(∓5/2) + 14 = 25/4 – 25/2 + 14 = 25/4 - 50/4 + 56/4 = 81/4


Alternativa (A)



Um abraço.

Muito obrigado!! E eu tava achando que essa questão era fácil, mas ela exige MUITA atenção. 

Por sinal, fiquei na dúvida em: 
...... -b + √(b²+4c) ........ -b – √(b²+4c)
x' = ----------------- ; x" = ----------------
............... -2 ......................... -2

x' – x" = –√(b²+4c)

Por que o -b e o -2 foi cancelado e resultou na raiz negativa, em vez da positiva? –√(b²+4c)

Um modo mais simples de resolver, sem usar Bhaskara

y = - x² + b.x + c ---> Para x = 0 ---> y = c  ---> c = 14

Sejam r, s as raízes da função y = - x² + b.x + 14

Relações de Girard:

r.s = c/a ---> r.s = 14/(-1) ---> r.s = - 14 ---> s = - 14/s ---> I

Uma conclusão óbvia: uma raiz é positiva e a outra negativa: seja r > 0 e s < 0

r + s = - b/a ---> r + s = - b/(-1) ---> r + s = b ---> II

Enunciado ---> r - s = 9 ---> III

I em III ---> r - (-14/r) = 9 ---> r² - 9.r + 14 = 0 ---> Raízes: r = 7 ou r = 2

Para r = 7 ---> I ---> s = - 14/7 ---> s = - 2 ---> II ---> r + s = b ---> b = 5

y = - x² + 5x + 14 ---> xV = - b/2a ---> xV = - 5/2.(-1) ---> xV = 5/2

yV = - (5/2)² + 5.(5/2) + 14 ---> yV = - 25/4 + 50/4 + 56/4 ---> yV = 81/4

O mesmo pode ser feito para r = 2, chegando-se no mesmo resultado

kauangs escreveu:Muito obrigado!! E eu tava achando que essa questão era fácil, mas ela exige MUITA atenção. 

Por sinal, fiquei na dúvida em: 
...... -b + √(b²+4c) ........ -b – √(b²+4c)
x' = ----------------- ; x" = ----------------
............... -2 ......................... -2

x' – x" = –√(b²+4c)

Por que o -b e o -2 foi cancelado e resultou na raiz negativa, em vez da positiva? –√(b²+4c)

Boa noite,

Fazendo a subtração x' - x", quanto aos numeradores, vem:

. -b + √(b²+4c)  – [-b – √(b²+4c)] = . –b + √(b²+4c)  + b +  √(b²+4c) = 0 + 2 √(b²+4c)

Colocando agora o mesmo denominador, fica:

0 + 2 √(b²+4c)
------------------ = –√(b²+4c)
....... -2



Um abraço.

Elcioschin escreveu:Um modo mais simples de resolver, sem usar Bhaskara

y = - x² + b.x + c ---> Para x = 0 ---> y = c  ---> c = 14

Sejam r, s as raízes da função y = - x² + b.x + 14

Relações de Girard:

r.s = c/a ---> r.s = 14/(-1) ---> r.s = - 14 ---> s = - 14/s ---> I

Uma conclusão óbvia: uma raiz é positiva e a outra negativa: seja r > 0 e s < 0

r + s = - b/a ---> r + s = - b/(-1) ---> r + s = b ---> II

Enunciado ---> r - s = 9 ---> III

I em III ---> r - (-14/r) = 9 ---> r² - 9.r + 14 = 0 ---> Raízes: r = 7 ou r = 2

Para r = 7 ---> I ---> s = - 14/7 ---> s = - 2 ---> II ---> r + s = b ---> b = 5

y = - x² + 5x + 14 ---> xV = - b/2a ---> xV = - 5/2.(-1) ---> xV = 5/2

yV = - (5/2)² + 5.(5/2) + 14 ---> yV = - 25/4 + 50/4 + 56/4 ---> yV = 81/4

O mesmo pode ser feito para r = 2, chegando-se no mesmo resultado

Realmente, essa é mais prática, muito obrigado!!!

ivomilton escreveu:

kauangs escreveu:Muito obrigado!! E eu tava achando que essa questão era fácil, mas ela exige MUITA atenção. 

Por sinal, fiquei na dúvida em: 
...... -b + √(b²+4c) ........ -b – √(b²+4c)
x' = ----------------- ; x" = ----------------
............... -2 ......................... -2

x' – x" = –√(b²+4c)

Por que o -b e o -2 foi cancelado e resultou na raiz negativa, em vez da positiva? –√(b²+4c)

Boa noite,

Fazendo a subtração x' - x", quanto aos numeradores, vem:

. -b + √(b²+4c)  – [-b – √(b²+4c)] = . –b + √(b²+4c)  + b +  √(b²+4c) = 0 + 2 √(b²+4c)

Colocando agora o mesmo denominador, fica:

0 + 2 √(b²+4c)
------------------ = –√(b²+4c)
....... -2



Um abraço.

Ah, entendi, obrigado, muito boa a explicação!!