Distância pontos

Três postos policiais fixos P(-1,3), Q(0,0) e R(3,0) instalados em um grande bairro de uma cidade estão situados em pontos equidistantes da delegacia D nesse bairro. Utilizando-se o sistema de coordenadas cartesianas em uma figura para representá-los, pode-se concluir que a distância em unidades de comprimento  de cada posto à delegacia é igual a:

01) (10*sqrt5) / 3

02) (3*sqrt15) / 2

03) (3*sqrt10) / 2

04) (5*sqrt5) / 3

05) (5*sqrt10) / 6



Pessoal, eu não tenho o gabarito. Fiz e deu sqrt205 / 6, que é aproximadamente igual a resposta "05", mas não é...

Olá, jojo.

Veja o seguinte desenho:





A distância pedida é o raio da circunferência que passa por P,Q e R. Vamos encontrá-la:

Lembrando que a equação de uma circunferência qualquer é: (x-a)² + (y-b)² = r², temos:

. (x+1)² + (y-3)² = r² .:. x² + y² + 2x - 6y + 10 = r² (i)
. (x-0)² + (y-0)² = r² .:. x² + y² = r² (ii)
. (x-3)² + (y-0)² = r² .:. x² + y² - 6x + 9 = r² (iii)

i=ii:

x² + y² + 2x - 6y + 10 = x² + y² .:. 2x - 6y = - 10 .:. x - 3y = -5 (iv)

ii=iii:

x² + y² = x² + y² - 6x + 9 .:. -6x = -9 .:. x = 3/2

. x - 3y = -5 .:. 3/2 - 3y = -5 .:. 3/2 + 5 = 3y .:. 3 + 10 = 6y .:. y = 13/6

Encontrando o raio:

x² + y² = r²
(3/2)² + (13/6)² = r² .:. 9/4 + 169/36 = r² .:. (81 + 169)/36 = r² .:. 250/36 = r² .:. r = √(25 * 10)/6 .:. r = (5√10)/6


É isso.


Att.,
Pedro

Falta de atenção na hora de igualar denominadores no fim.

Valeu!

outra forma.
neste caso, fazendo um esboço dos pontos dados fica fácil perceber -- aproveitamos o desenho do Pedro.

área do triâng. ABC ----> S = b.h/2 ----> S = 3*3/2 -----> S = 9/2

a = 3
b = √(1² + 3²) -----> b = √10
c = √(4² + 3³) -----> c = 5

área do triângulo dados os lados e o raio da circunferência circunscrita:
S = a.b.c/(4R)
de onde
R = a.b.c/(4S) -----> R = 3*√10*5/(4*9/2) -----> R = 5√10/6