Polinômio Divisível

por spawnftw Ter 28 Jan 2014, 23:46

Verifique que $x^3^m\;+x^3^n^+^1\;+x^3^p^+^2$ é divisível por x² + x + 1, onde m, n e p são naturais.

não entendi esse exercício, alguém explica detalhadamente??

Obrigado

por PedroCunha Qua 29 Jan 2014, 00:51

Veja:

$Polinômio Divisível %5CLARGE%5C%21%5Ccirc%20x%5E2%20%2B%20x%20%2B%201%3A%20%5C%5C%5C%5C%20x%20%3D%20%5Cfrac%7B-1%20%5Cpm%20%5Csqrt3%20%5Ccdot%20i%7D%7B2%7D%20%5Ctherefore%20x_1%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%2B%20i%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Csqrt3%7D%7B2%7D%20%5Chspace%7B10mm%7D%20x_2%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20-%20i%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Csqrt3%7D%7B2%7D%20%5C%5C%5C%5C%5Ctext%7BPassando%20para%20a%20forma%20polar%3A%7D%20%5C%5C%5C%5Cx_1%20%3D%20%28%20%5Ccos%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B3%7D%20%5Cright%29%20%2B%20i%5Csin%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B3%7D%20%5Cright%29%20%29%20%5Ctherefore%20x_1%20%3D%20cis%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B3%7D%20%5Cright%29%20%5C%5C%5C%5Cx_2%20%3D%20%28%20%5Ccos%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B4%5Cpi%7D%7B3%7D%20%5Cright%29%20%2B%20i%5Csin%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B4%5Cpi%7D%7B3%7D%20%5Cright%29%20%29%20%5Ctherefore%20x_2%20%3D%20cis%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B4%5Cpi%7D%7B3%7D%20%5Cright%29$

Se é divisível, devemos ter:

$\begin{cases}P\left( cis \left( \frac{2\pi}{3} \right) \right) = 0 \dots I \\\\P\left( cis \left( \frac{4\pi}{3} \right) \right) = 0 \dots II \end{cases}\\\\I: \\ \left( cis \left(\frac{2\pi}{3}\right) \right)^{3m} + \left( cis \left( \frac{2\pi}{3} \right) \right)^{3n+1} + \left( cis \left( \frac{2\pi}{3} \right) \right)^{3p+2} = 0 \\\\cis \left( 3m \cdot \frac{2\pi}{3} \right) + cis \left( (3n+1) \cdot \frac{2\pi}{3} \right) + cis \left( (3p+2) \cdot \frac{2\pi}{3} \right) = 0 \\\\\rightarrow cis \left( 3m \cdot \frac{2\pi}{3} \right), \text{ para } m = 1,2,3 ...: \\\\ cis \,\, 2\pi = 1, cis \,\, 4\pi = 1, cis \,\, 6\pi = 1, cis (m \cdot 2\pi) = 1, \forall m \in \mathbb{N} \\\\\rightarrow cis \left( (3n+1) \cdot \frac{2\pi}{3} \right), \text{ para } n = 1,2,3...: \\\\ cis \,\, \frac{8\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt3}{2}, cis \,\, \frac{14\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt3}{2}, cis \,\, \frac{20\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt3}{2}, cis \left( (3n+1) \cdot \frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt3}{2}, \forall n \in \mathbb{N} \\\\ \rightarrow cis \left( (3p+2) \cdot \frac{2\pi}{3} \right), \text{ para } p = 1,2,3,...: \\\\ cis \,\, \frac{10\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt3}{2}, cis \frac{16\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt3}{2}, cis \frac{22\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt3}{2}, cis \left((3p+2) \cdot \frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} - i\cdot \frac{\sqrt3}{2}, \forall p \in \mathbb{N} \\\\ \text{Logo, } I \text{ sempre vai ser:} \\\\ 1 + \left( -\frac{1}{2} + \cancel{i \cdot \frac{\sqrt3}{2}} \right) + \left( - \frac{1}{2} - \cancel{i \cdot \frac{\sqrt3}{2}} \right) \therefore 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \\\\ II: \\\rightarrow cis \left( 3m \cdot \frac{4\pi}{3} \right), \text{ para } m = 1,2,3...: \\\\ cis \,\, 4\pi = 1, cis \,\, 8\pi = 1, cis \,\, 12\pi = 1, cis \left( 3m \cdot \frac{4\pi}{3} \right) = 1, \forall m \in \mathbb{N} \\\\\rightarrow cis \,\, \left( (3n+1) \cdot \frac{4\pi}{3} \right), \text{ para } n = 1,2,3...: \\\\ cis \,\, \frac{16\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt3}{2}, cis \,\, \frac{28\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt3}{2}, cis \,\, \frac{40\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt3}{2}, cis \left( (3n+1) \cdot \frac{4\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt3}{2}, \forall n \in \mathbb{N} \\\\ \rightarrow cis \left( (3p+2) \cdot \frac{4\pi}{3} \right), \text{ para } p = 1,2,3...: \\\\ cis \frac{20\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt3}{2}, cis \frac{32\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt3}{2}, cis \left( \frac{44\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt3}{2}, cis \left( (3p+2) \cdot \frac{4\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt3}{2}, \forall p \in \mathbb{N} \\\\ \text{Logo, } II \text{ sempre vai ser:} \\\\1 + \left( -\frac{1}{2} - \cancel{i \cdot \frac{\sqrt3}{2}} \right) + \left( -\frac{1}{2} + \cancel{i \cdot \frac{\sqrt3}{2}} \right) = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1} {2} = 0 \\\\ \text{ Com isso, provamos que para quaisquer } m,n,p \in \mathbb{N}, p(x) | q(x). \\\\*p(x) = x^{3m} + x^{3n+1} + x^{3p+2} \\*q(x) = x^2 + x + 1 \\*p(x) | q(x) \rightarrow p(x) \text{ e divisivel por } q(x)$

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida que tiver, é só falar.

Ótima questão.

Abraços,
Pedro

por spawnftw Qua 29 Jan 2014, 01:02

o que é forma polar??
acho que já vi.

mas não estou recordando.

Obrigado Pedro! ótima solução.

por PedroCunha Qua 29 Jan 2014, 01:06

Também é conhecida como forma trigonométrica de um número complexo. Veja:

z = a + bi = ρ * (cos θ + i * sen θ), onde ρ é o módulo do número complexo.

No caso do exercício:

z = -1/2 + i*√3/2 .:. z = 1 * (-1/2 + i*√3/2)

Lembrando que: cos 2pi/3 = -1/2 e sen 2pi/3 = √3/2, temos:

z = 1 * (cos 2pi/3 + i* sen 2pi/3) .:. z = cos 2pi/3 + i* sen 2pi/3 .:. z = cis (2pi/3)

Para outra raiz, a resolução é análoga.

Espero que tenha entendido tudo.

Abraços,
Pedro

por spawnftw Qua 29 Jan 2014, 01:26

aa certo então já vi sim..

Obrigado Pedro!

por Luck Qua 29 Jan 2014, 01:30

Outra solução:
x³ ≡ 1 mod(x²+x+1) ∴ x^(3m) ≡ 1 mod(x²+x+1)
então x^(3n+1) ≡ x mod(x²+x+1) e x^(3p+2) ≡ x² mod(x²+x+1)
Logo, x^(3m) + x^(3n+1) + x^(3p+2) ≡ 1 + x + x² ≡ 0 mod(x²+x+1) ,c.q.d

por PedroCunha Qua 29 Jan 2014, 01:36

Luck, porque x³ ≡ 1 mod(x²+x+1)?

por Luck Qua 29 Jan 2014, 01:39

PedroCunha escreveu:Luck, porque x³ ≡ 1 mod(x²+x+1)?

é só lembrar da fatoração: x³ - 1 = (x-1)(x²+x+1),
então x³ -1 ≡ 0 mod(x²+x+1) ∴ x³ ≡ 1 mod(x²+x+1)

por PedroCunha Qua 29 Jan 2014, 01:44

Entendi. Valeu!

por spawnftw Qua 29 Jan 2014, 13:44

sempre tentei aprender módulo, mas não entendi direito.

Conhece um bom material Luck??
eu vi o que tem aqui no fórum (mesmo do rumo ao ita) mas os exercícios não tem gabarito