Área com pares ordenados

por sabinex3 Seg Jan 27 2014, 08:35

Considere o triângulo, cujos vértices estão no centro da
circunferência S1: x2 + y2 = 36 e na interseção da circunferência
S1 com a curva S2: x2 + y2 -16x = -48. É correto afirmar que a
área, em unidade de área, deste triângulo é igual a:

A)63V15/16
B)63V15/8
C)63V15/32
D)63V15/4
E)63V15/2

por **Medeiros** Seg Jan 27 2014, 09:45

S1 é uma circunferência de centro na origem O(0, 0).
S1 ∩ S2:
x² + y² - 36 = x² + y² - 16x + 48 -----> x = 21/4
levando esse valor em S1:
(21/4)² + y² = 36 -----> y² = 135/16 -----> y = ±3(√15)/4

então, os vértices do triângulo são: O(0, 0), A(21/4, 3√15/4) e B(21/4, -3√15/4)

o triângulo é isósceles e simétrico em relação ao eixo das abscissas. Vou calcular sua área mediante 2 vezes a área acima do eixo x.

S = 2.x.y.(1/2) -----> S = (21/4)*3(√15)/4 -----> S = 63√15/16 ........alternativa A

por PedroCunha Seg Jan 27 2014, 09:57

Veja:

S1: x² + y² = 36 .:. (x-0)² + (y-0)² = 6² --> Centro (0,0), R = 6

Primeiro vértice: A(0,0)

Agora:

x² + y² = 36 .:. x² = (36-y²)

Substituindo em S2:

(36-y²) + y² - 16x = -48
36 - 16x = -48
84 = 16x .:. x = 84/16 .:. x = 21/4

Substituindo o valor de x em S1:

(21/4)² + y² = 36
441/16 + y² =36
441 + 16y² = 576
16y² = 135
y² = 135/16
y = ± 3√15/4

Logo: B(21/4. 3√15/4), C(21/4, -3√15/4)

Utilizando a Fórmula da área do triângulo via determinante:

2S = | 0 0 1| 0 0
|21/4 3√15/4 1|21/4 3√15/4
|21/4 -3√15/4 1|21/4 -3√15/4

2S = 21/4 * (-3√15/4) - (21/4 * 3√15/4)
2S = 2* -21/4 * (3√15/4)
S = -(63√15)/16

Como o valor da área é positivo, o valor do determinante fica em módulo:

S = (63√15)/16 u.a.

É isso.

Att.,
Pedro