Inequação . . .

(FUVEST) O conjunto das soluções, no conjunto R dos números reais, da inequação (x/x+1) > x é:

e) { x E R | x < -1 }

No numerador não é vazio ?
E no denominador x > -1

Pelo menos aqui deu isso. Alguém poderia responder ?

Olá,

(x/x+1) > x => [(x/(x+1) ] - x > 0 => [ x - ( x² + 1) ]/( x+1 ) > 0 => - x²/( x+1 ) > 0

- x² será sempre negativo.

x <> - 1

x + 1 = 0 => x = - 1 --> positivo para x > - 1 e negativo para x < - 1

Assim, como - x² é sempre negativo então (x + 1) deve ser negativo para termos [ - x²/(x+1) ] positivo.

S = { x E R / x < - 1 }

Eu consigo chegar até essa parte da conta:

(-x²/x+1) > 0

Não há um modo de resolver algébricamente, sem ter esses raciocínios aí ?
Por exemplo, pelo quadro de sinais não dá certo ?

Olá rafaasot,

Experimente fazer o quadro de sinais, vc verá que, na verdade, apenas não foi feito o quadro mas os "raciocínios" são baseados nele.


Abração.

Então, mas eu estou com dúvida na parte do -x² > 0

- x² > 0 ----------> 0 > x² ----------> x² < 0 NUMERADOR


x > -1 DENOMINADOR


Daí...como eu faço com o x² ?

Olá,

Veja que estudando os sinais de ( - x² ) veremos que será sempre negativo para qualquer valor de x pois x² será sempre positivo mas como está multiplicado por ( - 1 ) então será sempre negativo.

------------------------0------------- - 1 -------------
- x² ........... - ................... - ................. -
-------------------------------------------------
x = 1 ......... - .................... - .................. +
-------------------------------------------------
- x²/(x+1) ... + .................... + ................. -
---------------------------------------------------

logo: S = { x E R/ x < - 1 }

Olá , todos os numeros no -x ao quadrado dao negativo mesmo?
porque , por exemplo   -2 ao quadrado da positivo -2 x -2 = 4

Abraam observe que -(x) elevado ao quadrado...assim sempre assumirá valores negativos e como o numerador è negativo o denominador deve ser negativo ou seja x+1 tem que ser menor que 0 dando x menor que menos 1

Olá,

Então, vamos lá, começando pelo isolamento das incógnitas na inequação.

x/(x-1) - x > 0
x/(x-1) - x.(x-1)/x(x-1) > 0
x-x^2-x/(x+1) > 0

-x^2/(x+1)>0 (Inequação final quociente)
Repare que temos duas condições,

-x^2 > 0 ---> para obter sua raiz, igualamos a zero, obtendo que x = 0 (a parábola intercepta na origem e a<0).
x+1≠0 ---> o denominador não pode ser igual a zero, e x≠-1.



Para resolver essa inequação quociente, começamos por:

1) Montar o gráfico da parábola e da reta, identificando suas raízes e os sinais.



Obteremos que a parábola está com a concavidade para baixo e ocupa a porção inferior do eixo x. Todos os seus sinais são negativos.

Obteremos que a reta está crescente, já que a>0 em sua equação, e portanto à esquerda de -1 temos sinal negativo e à direita sinal positivo.



2) Montar o varal, identificando os sinais em a), b) e a/b. Obteremos:


a) - / - / -
b) -/ +/ +
a/b) +/ -/ -


Efetuar as divisões dos sinais (a/b) e comparar com o intervalo.

Obs.: no caso da inequação produto, faz-se o produto (a.b), a depender do número de equações envolvidas no cálculo.



-----(-1)------(0)--------


Repare que, como a inequação exige que >0, é aceito apenas o intervalo em que x<-1.

Portanto, S = {x e IR| x<-1}.