Olimpíada do Canadá 96

Determine todas as soluções reais do seguinte sistema de equações.


S={(0,0,0),(1/2,1/2,1/2)}

Observe que, se invertermos os membros das equações, cairemos num sistema mais agradável. Ao fazê-lo, contudo, estaremos afirmando implicitamente que nenhum desses membros é nulo. Como x = 0, y = 0 ou z = 0 são os únicos valores capazes de zerar algum membro de alguma equação, vejamos, antes de descartá-los, se eles levam a alguma solução:

Se x = 0, y = 0 (da primeira equação) e, logo, z = 0 (da segunda equação). 
Se y = 0, x = 0 (da primeira equação) e, logo, z = 0 (da segunda equação).
Se z = 0, y = 0 (da segunda equação) e, logo, x = 0 (da primeira equação).

Portanto, qualquer que seja o caso, (0; 0; 0) é solução.

Para xyz ≠ 0, podemos prosseguir com as inversões sugeridas:



Somando as três equações:



Agora, vamos organizar a equação convenientemente:



Como um quadrado é maior ou igual a zero, a única solução dessa equação é:



Portanto, as soluções são (0; 0; 0) e (1/2; 1/2; 1/2).