(IME-84/85) Geometria Analítica

por **mauk03** Seg 20 Jan 2014, 02:44

Uma reta m1 passa pelo ponto fixo P1(1,3) e intercepta a reta m2: 3x+2y-6=0 no ponto A e a reta m3: y-3=0 no ponto B. Determinar a equação do lugar geométrico do ponto do segmento retilíneo AB à medida que a reta m1 gira em torno do ponto P1.

gabarito:

por Luck Qua 22 Jan 2014, 17:04

Achei o enunciado original:
"Uma reta m1 passa pelo ponto fixo P1(-1,-3) e intercepta a reta m2: 3x+2y-6=0 no ponto A e a reta m3: y-3=0 no ponto B. Determinar a equação do lugar geométrico do ponto médio do segmento retilíneo AB à medida que a reta m1 gira em torno do ponto P1."

com o ponto anterior, B coincidia com P1, agora sai: monte as equações em função do coeficiente angular ,achando o ponto médio em função dele ,isole-o depois substitua para achar o l.g.

por **Euclides** Qua 22 Jan 2014, 17:49

Aproveito para avisar que o gabarito está errado.

gabarito escreveu:4x²+6xy+3y=45

por **mauk03** Qua 22 Jan 2014, 18:09

Eu realmente errei quando digitei o enunciado, mas o gabarito eu peguei desse link:
[url=http://sistemasei.com.br/download/simulados/matem%C3%A1tica/Simulado Discursivo II - ITA.pdf]http://sistemasei.com.br/download/simulados/matem%C3%A1tica/Simulado%20%20Discursivo%20II%20-%20ITA.pdf[/url]

Euclides, vc tem uma resolução?

por **Euclides** Qua 22 Jan 2014, 18:27

Não, não tenho uma resolução algébrica. Apenas plotei tudo no Geogebra. Note que o ponto (0,3) tem de pertencer ao L.G.

(IME-84/85) Geometria Analítica 1iuo

por **Elcioschin** Qua 22 Jan 2014, 18:28

Ponto P(-1, -3)
Ponto B(xB, 3)

Reta m1 que passa por P e B ---> y + 3 = [(3 + 3)/(xB + 1)].(x + 1)

Ponto A de encontro de m1 com m2:3x + 2y - 6 = 0 ----> calcule A(xA, yA)

Ponto médio M do segmento AB ---> xM = (xA + xB)/2 ---> yM = (yA + 3)/2

por Luck Qua 22 Jan 2014, 19:45

O gabarito está certo:
m1: y+3= m(x+1) (i)
m2: 3x +2y - 6 = 0 (ii)
m3: y-3 = 0 (iii)
m1∩ m2 : A

3x + 2[m(x+1) -3] - 6 = 0 ∴ x = (12-2m)/(3+2m)
subsituindo em (i) vc e fazendo as contas vc obtém y = (9m-9)/(3+2m)
A ( (12-2m)/(3+2m) , (9m-9)/(3+2m) )

m1 ∩ m3 : B
3+3 = m(x+1) ∴ x = (6-m)/m , y = 3
B ( (6-m)/m , 3)
M = (A+B)/2
x' = [((6-m)/m) + ((12-2m)/(3+2m))] / 2
fazendo as contas:
x' = (-4m²+21m + 18)/(2m(2m+3)), (iv)

y' = [ ((9m-9)/(3+2m)) + 3 ] /2
y' = 15m/[2(2m+3)] , isolando m:
m = 6y'/(15-4y')
substituindo em (iv) :

x' = (-4[ 6y'/(15-4y')]² +21[ 6y'/(15-4y')] + 18 ) / ( (2[6y'/(15-4y')])(2[6y'/(15-4y')]+3 ) )
fazendo essas contas vc chega em:
y'(6x' + 4y' + 3) = 45
4y'² +6x'y' +3y' = 45

se ficou ambíguo veja aqui:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%3D+%28-4%5B+6y%2F%2815-4y%29%5D%C2%B2+%2B21%5B+6y%2F%2815-4y%29%5D+%2B+18+%29+%2F+%28+%282%5B6y%2F%2815-4y%29%5D%29%282%5B6y%2F%2815-4y%29%5D%2B3+%29+%29+

ps. talvez tenha um caminho algébrico mais rápido, o chato são as contas mesmo mas fiz no wolfram para não errar.